ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 883 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения х, при которых значение производной функции f (x) равно нулю; положительно; отрицательно:

1. f (х) = 2х + 2^-х;
2. f (х) = 3^2x- 2х ln 3;
3. f (х) = х + ln 2х;
4. f (х) = х + ln (2х + 1);
5. f (х) = 6х — х — корень x;
6. f (х) = (х + 1) корень (х + 1) — 3х.

1. $f(x) = 2^x + 2^{-x}$;
   $f'(x) = (2^x)’ + (2^{-x})’ = 2^x \cdot \ln 2 — 2^{-x} \cdot \ln 2 = \ln 2 \cdot (2^x — 2^{-x})$;
   Производная равна нулю при:
   $2^x — 2^{-x} = 0$;
   $2^x = 2^{-x}$;
   $x = -x$, отсюда $x = 0$;
   Производная положительна при:
   $2^x — 2^{-x} > 0$;
   $2^x > 2^{-x}$, отсюда $x > 0$;
   Производная отрицательна при:
   $2^x — 2^{-x} < 0$;
   $2^x < 2^{-x}$, отсюда $x < 0$;
2. $f(x) = 3^{2x} = 2x \cdot \ln 3$;
   $f'(x) = (3^{2x})’ — \ln 3 \cdot (2x)’ = 2 \cdot 3^{2x} \cdot \ln 3 — \ln 3 \cdot 2 = 2 \cdot \ln 3 \cdot (3^{2x} — 1)$;
   Производная равна нулю при:
   $3^{2x} — 1 = 0$;
   $3^{2x} = 1$;
   $3^{2x} = 3^0$;
   $2x = 0$, отсюда $x = 0$;
   Производная положительна при:
   $3^{2x} — 1 > 0$;
   $3^{2x} > 1$;
   $3^{2x} > 3^0$, отсюда $x > 0$;
   Производная отрицательна при:
   $3^{2x} — 1 < 0$;
   $3^{2x} < 1$;
   $3^{2x} < 3^0$, отсюда $x < 0$;
3. $f(x) = x + \ln 2x$;
   $f'(x) = (x)’ + (\ln 2x)’ = 1 + \frac{2}{2x} = 1 + \frac{1}{x}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $2x > 0$, отсюда $x > 0$;
   Производная равна нулю при:
   $1 + \frac{1}{x} = 0$;
   $x + 1 = 0$ — нет корней;
   Производная положительна при:
   $1 + \frac{1}{x} > 0$;
   $x^2 + x > 0$;
   $(x + 1) \cdot x > 0$;
   $x > 0$;
   Производная отрицательна при:
   $1 + \frac{1}{x} < 0$;
   $x^2 + x < 0$;
   $(x + 1) \cdot x < 0$;
   $-1 < x < 0$ — нет корней;
4. $f(x) = x + \ln(2x + 1)$;
   $f'(x) = (x)’ + (\ln(2x + 1))’ = 1 + \frac{2}{2x + 1}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $2x + 1 > 0$, отсюда $x > -\frac{1}{2}$;
   Производная равна нулю при:
   $1 + \frac{2}{2x + 1} = 0$;
   $2x + 1 + 2 = 0$;
   $2x + 3 = 0$ — нет корней;
   Производная положительна при:
   $2x + 3 > 0$;
   $x > -\frac{3}{2}$, отсюда $x > -\frac{1}{2}$;
   Производная отрицательна при:
   $2x + 3 < 0$;
   $x < -\frac{3}{2}$ — нет корней;
5. $f(x) = 6x — x\sqrt{x}$;
   $f'(x) = (6x)’ — \left(x^{\frac{3}{2}}\right)’ = 6 — \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} = 6 — \frac{3\sqrt{x}}{2}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x \geq 0$;
   Производная равна нулю при:
   $6 — \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0$;
   $12 — 3\sqrt{x} = 0$;
   $4 — \sqrt{x} = 0$;
   $\sqrt{x} = 4$, отсюда $x = 16$;
   Производная положительна при:
   $4 — \sqrt{x} > 0$;
   $\sqrt{x} < 4$, отсюда $x < 16$;
   Производная отрицательна при:
   $4 — \sqrt{x} < 0$;
   $\sqrt{x} > 4$, отсюда $x > 16$;
6. $f(x) = (x + 1) \cdot \sqrt{x + 1} — 3x$;
   $f'(x) = (x + 1)^{\frac{3}{2}} — (3x)’ = \frac{3}{2} \cdot (x + 1)^{\frac{1}{2}} — 3 = 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} — 1\right)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x + 1 \geq 0$, отсюда $x \geq -1$;
   Производная равна нулю при:
   $\frac{\sqrt{x + 1}}{2} — 1 = 0$;
   $\sqrt{x + 1} — 2 = 0$;
   $x + 1 = 4$, отсюда $x = 3$;
   Производная положительна при:
   $\sqrt{x + 1} — 2 > 0$;
   $x + 1 > 4$, отсюда $x > 3$;
   Производная отрицательна при:
   $\sqrt{x + 1} — 2 < 0$;
   $x + 1 < 4$, отсюда $x < 3$

1) $f(x) = 2^x + 2^{-x}$

Шаг 1: Находим производную

Мы применяем правила дифференцирования экспоненциальных функций.

$$f'(x) = (2^x)’ + (2^{-x})’$$

Для $2^x$ используется правило: $(a^x)’ = a^x \cdot \ln(a)$, а для $2^{-x}$ аналогичное, но с минусом в показателе.

$$f'(x) = 2^x \cdot \ln 2 — 2^{-x} \cdot \ln 2$$

Вынесем $\ln 2$ за скобки:

$$f'(x) = \ln 2 \cdot \left( 2^x — 2^{-x} \right)$$

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю

Производная равна нулю, если:

$$\ln 2 \cdot (2^x — 2^{-x}) = 0$$

Так как $\ln 2 \neq 0$, то остаётся:

$$2^x — 2^{-x} = 0$$

Решим это уравнение:

$$2^x = 2^{-x}$$

Переносим $2^{-x}$ в правую часть:

$$2^x = \frac{1}{2^x}$$

Умножим обе стороны на $2^x$:

$$2^{2x} = 1$$

Затем $2^{2x} = 2^0$, что означает:

$$2x = 0$$

Следовательно, $x = 0$.

Шаг 3: Рассмотрим знак производной

• Когда $2^x — 2^{-x} > 0$, то производная положительна. Это выполняется, когда $2^x > 2^{-x}$, что эквивалентно $x > 0$.
• Когда $2^x — 2^{-x} < 0$, то производная отрицательна. Это выполняется, когда $2^x < 2^{-x}$, что эквивалентно $x < 0$.

Таким образом:

• Производная равна нулю при $x = 0$,
• Производная положительна при $x > 0$,
• Производная отрицательна при $x < 0$.

2) $f(x) = 3^{2x}$

Шаг 1: Находим производную

Применяем правила дифференцирования для степенных функций.

$$f'(x) = (3^{2x})’$$

Используем правило дифференцирования степенной функции:

$$f'(x) = 2 \cdot 3^{2x} \cdot \ln 3$$

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю

Производная равна нулю, если:

$$2 \cdot 3^{2x} \cdot \ln 3 = 0$$

Так как $\ln 3 \neq 0$, уравнение сводится к:

$$3^{2x} = 1$$

Решаем это уравнение:

$$3^{2x} = 3^0$$

Значит, $2x = 0$, отсюда $x = 0$.

Шаг 3: Рассмотрим знак производной

• Когда $3^{2x} — 1 > 0$, производная положительна. Это выполняется, когда $3^{2x} > 1$, что эквивалентно $x > 0$.
• Когда $3^{2x} — 1 < 0$, производная отрицательна. Это выполняется, когда $3^{2x} < 1$, что эквивалентно $x < 0$.

Таким образом:

• Производная равна нулю при $x = 0$,
• Производная положительна при $x > 0$,
• Производная отрицательна при $x < 0$.

3) $f(x) = x + \ln(2x)$

Шаг 1: Находим производную

Применяем правила дифференцирования.

$$f'(x) = (x)’ + (\ln(2x))’$$

Производная от $x$ равна 1, а производная от $\ln(2x)$ по цепному правилу:

$$(\ln(2x))’ = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$$

Итак:

$$f'(x) = 1 + \frac{1}{x}$$

Шаг 2: Найдем ограничения на область определения

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0$$

Шаг 3: Найдем точки, где производная равна нулю

Производная равна нулю, если:

$$1 + \frac{1}{x} = 0$$

Решаем уравнение:

$$\frac{1}{x} = -1$$ $$x = -1$$

Так как $x > 0$, корня нет.

Шаг 4: Рассмотрим знак производной

Производная положительна при:

$$1 + \frac{1}{x} > 0 \quad \text{или} \quad x > 0$$

Производная отрицательна при:

$$1 + \frac{1}{x} < 0 \quad \text{или} \quad -1 < x < 0$$

Так как область определения $x > 0$, производная всегда положительна.

4) $f(x) = x + \ln(2x + 1)$

Шаг 1: Находим производную

$$f'(x) = (x)’ + (\ln(2x + 1))’$$

Производная от $x$ равна 1, а производная от $\ln(2x + 1)$ по цепному правилу:

$$(\ln(2x + 1))’ = \frac{2}{2x + 1}$$

Итак:

$$f'(x) = 1 + \frac{2}{2x + 1}$$

Шаг 2: Найдем ограничения на область определения

Выражение имеет смысл при:

$$2x + 1 > 0 \quad \text{или} \quad x > -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдем точки, где производная равна нулю

Производная равна нулю, если:

$$1 + \frac{2}{2x + 1} = 0$$

Решаем уравнение:

$$\frac{2}{2x + 1} = -1$$ $$2 = -(2x + 1)$$ $$2 = -2x — 1$$ $$2x = -3$$ $$x = -\frac{3}{2}$$

Но так как область определения $x > -\frac{1}{2}$, корня нет.

Шаг 4: Рассмотрим знак производной

Производная положительна при:

$$1 + \frac{2}{2x + 1} > 0$$

Производная отрицательна при:

$$1 + \frac{2}{2x + 1} < 0$$

5) $f(x) = 6x — x\sqrt{x}$

Шаг 1: Находим производную

$$f'(x) = (6x)’ — \left(x^{\frac{3}{2}}\right)’$$

Производная от $6x$ равна 6, а производная от $x^{\frac{3}{2}}$ равна:

$$\left(x^{\frac{3}{2}}\right)’ = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$$

Итак:

$$f'(x) = 6 — \frac{3\sqrt{x}}{2}$$

Шаг 2: Найдем ограничения на область определения

Выражение имеет смысл при:

$$x \geq 0$$

Шаг 3: Найдем точки, где производная равна нулю

Производная равна нулю, если:

$$6 — \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0$$

Решаем уравнение:

$$6 = \frac{3\sqrt{x}}{2}$$ $$12 = 3\sqrt{x}$$ $$4 = \sqrt{x}$$ $$x = 16$$

Шаг 4: Рассмотрим знак производной

Производная положительна при:

$$6 — \frac{3\sqrt{x}}{2} > 0 \quad \text{или} \quad x < 16$$

Производная отрицательна при:

$$6 — \frac{3\sqrt{x}}{2} < 0 \quad \text{или} \quad x > 16$$

6) $f(x) = (x + 1) \cdot \sqrt{x + 1} — 3x$

Шаг 1: Находим производную

$$f'(x) = (x + 1)^{\frac{3}{2}} — (3x)’$$

Производная от $(x + 1)^{\frac{3}{2}}$ по цепному правилу:

$$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot (x + 1)^{\frac{1}{2}} — 3$$

Шаг 2: Найдем ограничения на область определения

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 \geq 0 \quad \text{или} \quad x \geq -1$$

Шаг 3: Найдем точки, где производная равна нулю

Производная равна нулю, если:

$$\frac{3\sqrt{x + 1}}{2} — 3 = 0$$

Решаем уравнение:

$$\frac{3\sqrt{x + 1}}{2} = 3$$ $$\sqrt{x + 1} = 2$$ $$x + 1 = 4$$ $$x = 3$$

Шаг 4: Рассмотрим знак производной

Производная положительна при:

$$\sqrt{x + 1} — 2 > 0 \quad \text{или} \quad x > 3$$

Производная отрицательна при:

$$\sqrt{x + 1} — 2 < 0 \quad \text{или} \quad x < 3$$