ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 881 Алимов — Подробные Ответы

1. log2 (x3 — x2 + 1);
2. (log2 x)3;
3. sin (log3 x);
4. cos 3x.

1. $f(x) = \log_2 (x^3 — x^2 + 1)$;
   Пусть $u = x^3 — x^2 + 1$, тогда $f(u) = \log_2 u$;
   $f'(x) = (x^3 — x^2 + 1)’ \cdot (\log_2 u)’$;
   $f'(x) = (3x^2 — 2x) \cdot \frac{1}{u \cdot \ln 2} = \frac{3x^2 — 2x}{(x^3 — x^2 + 1) \cdot \ln 2}$;
2. $f(x) = (\log_2 x)^3$;
   Пусть $u = \log_2 x$, тогда $f(u) = u^3$;
   $f'(x) = (\log_2 x)’ \cdot (u^3)’$;
   $f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 2} \cdot 3u^2 = \frac{3 \cdot (\log_2 x)^2}{x \cdot \ln 2} = \frac{3 \cdot \ln^2 x}{x \cdot \ln^3 2}$;
3. $f(x) = \sin(\log_3 x)$;
   Пусть $u = \log_3 x$, тогда $f(u) = \sin u$;
   $f'(x) = (\log_3 x)’ \cdot (\sin u)’$;
   $f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 3} \cdot \cos u = \frac{\cos(\log_3 x)}{x \cdot \ln 3}$;
4. $f(x) = \cos 3^x$;
   Пусть $u = 3^x$, тогда $f(u) = \cos u$;
   $f'(x) = (3^x)’ \cdot (\cos u)’$;
   $f'(x) = 3^x \cdot \ln 3 \cdot (-\sin u) = -3^x \cdot \ln 3 \cdot \sin 3^x$

1) $f(x) = \log_2 (x^3 — x^2 + 1)$

Рассмотрим функцию $f(x) = \log_2 (x^3 — x^2 + 1)$. Для её дифференцирования будем использовать правило цепочки. Сначала перепишем функцию как составную:

• Пусть $u = x^3 — x^2 + 1$, тогда $f(u) = \log_2 u$.
• Функция $\log_2 u$ является логарифмом по основанию 2. Дифференцируя её по переменной $u$, получаем:

$$\frac{d}{du} \log_2 u = \frac{1}{u \ln 2}.$$

Теперь найдём производную $f(x)$ по $x$, используя правило цепочки:

$$f'(x) = \frac{d}{du} \log_2 u \cdot \frac{du}{dx}.$$

Где $\frac{du}{dx}$ — это производная $u = x^3 — x^2 + 1$ по $x$, которую нужно найти:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 — x^2 + 1) = 3x^2 — 2x.$$

Теперь можем подставить эти результаты:

$$f'(x) = \frac{1}{u \ln 2} \cdot (3x^2 — 2x).$$

Подставим выражение для $u$:

$$f'(x) = \frac{3x^2 — 2x}{(x^3 — x^2 + 1) \ln 2}.$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = \frac{3x^2 — 2x}{(x^3 — x^2 + 1) \ln 2}.$$

2) $f(x) = (\log_2 x)^3$

Для функции $f(x) = (\log_2 x)^3$ также будем использовать правило цепочки. Сначала выразим функцию через новую переменную:

• Пусть $u = \log_2 x$, тогда $f(u) = u^3$.

Дифференцируем $f(u) = u^3$ по $u$:

$$\frac{d}{du} u^3 = 3u^2.$$

Теперь найдём производную $f(x)$ по $x$ с использованием цепочки:

$$f'(x) = \frac{d}{du} u^3 \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{du}{dx}.$$

Нам нужно найти $\frac{du}{dx}$, где $u = \log_2 x$. Дифференцируем:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \log_2 x = \frac{1}{x \ln 2}.$$

Теперь подставим:

$$f'(x) = 3u^2 \cdot \frac{1}{x \ln 2}.$$

Подставим обратно выражение для $u = \log_2 x$:

$$f'(x) = 3 (\log_2 x)^2 \cdot \frac{1}{x \ln 2}.$$

Это можно упростить до:

$$f'(x) = \frac{3 (\log_2 x)^2}{x \ln 2}.$$

А можно также представить в виде:

$$f'(x) = \frac{3 \ln^2 x}{x \ln^3 2}.$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$$f'(x) = \frac{3 \ln^2 x}{x \ln^3 2}.$$

3) $f(x) = \sin(\log_3 x)$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(\log_3 x)$. Для её дифференцирования опять используем правило цепочки. Сначала выразим функцию как составную:

• Пусть $u = \log_3 x$, тогда $f(u) = \sin u$.

Дифференцируем $\sin u$ по $u$:

$$\frac{d}{du} \sin u = \cos u.$$

Теперь найдём производную $f(x)$ по $x$, используя цепочку:

$$f'(x) = \frac{d}{du} \sin u \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot \frac{du}{dx}.$$

Нам нужно найти $\frac{du}{dx}$, где $u = \log_3 x$. Дифференцируем:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \log_3 x = \frac{1}{x \ln 3}.$$

Теперь подставим:

$$f'(x) = \cos u \cdot \frac{1}{x \ln 3}.$$

Подставим обратно выражение для $u = \log_3 x$:

$$f'(x) = \frac{\cos(\log_3 x)}{x \ln 3}.$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$$f'(x) = \frac{\cos(\log_3 x)}{x \ln 3}.$$

4) $f(x) = \cos 3^x$

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos 3^x$. Для её дифференцирования используем опять правило цепочки. Сначала выразим функцию как составную:

• Пусть $u = 3^x$, тогда $f(u) = \cos u$.

Дифференцируем $\cos u$ по $u$:

$$\frac{d}{du} \cos u = -\sin u.$$

Теперь найдём производную $f(x)$ по $x$, используя цепочку:

$$f'(x) = \frac{d}{du} \cos u \cdot \frac{du}{dx} = -\sin u \cdot \frac{du}{dx}.$$

Нам нужно найти $\frac{du}{dx}$, где $u = 3^x$. Дифференцируем:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} 3^x = 3^x \ln 3.$$

Теперь подставим:

$$f'(x) = -\sin u \cdot 3^x \ln 3.$$

Подставим обратно выражение для $u = 3^x$:

$$f'(x) = -3^x \ln 3 \cdot \sin 3^x.$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$$f'(x) = -3^x \ln 3 \cdot \sin 3^x.$$

Ответы:

1. $f'(x) = \frac{3x^2 — 2x}{(x^3 — x^2 + 1) \ln 2}$.
2. $f'(x) = \frac{3 \ln^2 x}{x \ln^3 2}$.
3. $f'(x) = \frac{\cos(\log_3 x)}{x \ln 3}$.
4. $f'(x) = -3^x \ln 3 \cdot \sin 3^x$.