ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 880 Алимов — Подробные Ответы

1. $y = \frac{1 — \cos 2x}{1 + \cos 2x}$;
2. $y = \frac{\sqrt{x + 4}}{4x}$;
3. $y = \frac{x}{\sqrt{x + 2}}$;
4. $y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x — \cos x}$

$y = \frac{1 — \cos 2x}{1 + \cos 2x}$;

$$y'(x) = \frac{(1 — \cos 2x)’ \cdot (1 + \cos 2x) — (1 — \cos 2x) \cdot (1 + \cos 2x)’}{(1 + \cos 2x)^2};$$ $$y'(x) = \frac{2 \sin 2x \cdot (1 + \cos 2x) — (1 — \cos 2x) \cdot (-2 \sin 2x)}{(\cos^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x — \sin^2 x)^2};$$ $$y'(x) = \frac{2 \sin 2x + 2 \sin 2x \cdot \cos 2x + 2 \sin 2x — 2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{(2 \cos^2 x)^2};$$ $$y'(x) = \frac{4 \sin 2x}{4 \cos^4 x} = \frac{\sin 2x}{\cos^4 x};$$

$y = \frac{\sqrt{x + 4}}{4x}$;

$$y'(x) = \frac{(x + 4)^{\frac{1}{2}} \cdot 4x — \sqrt{x + 4} \cdot (4x)’}{(4x)^2};$$ $$y'(x) = \frac{\frac{1}{2} \cdot (x + 4)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4x — \sqrt{x + 4} \cdot 4}{16x^2};$$ $$y'(x) = \left( \frac{2x}{\sqrt{x + 4}} — 4\sqrt{x + 4} \right) : 16x^2;$$ $$y'(x) = \frac{2x — 4(x + 4)}{\sqrt{x + 4}};$$ $$y'(x) = \frac{2x — 4x — 16}{16x^2 \cdot \sqrt{x + 4}};$$ $$y'(x) = \frac{-x — 8}{8x^2 \cdot \sqrt{x + 4}};$$

$y = \frac{x}{\sqrt{x + 2}}$;

$$y'(x) = \frac{(x)’ \cdot \sqrt{x + 2} — x \cdot (\sqrt{x + 2})’}{(\sqrt{x + 2})^2};$$ $$y'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x + 2} — x \cdot \frac{1}{2} \cdot (x + 2)^{-\frac{1}{2}}}{x + 2};$$ $$y'(x) = \frac{\sqrt{x + 2} — \frac{x}{2 \sqrt{x + 2}}}{x + 2};$$ $$y'(x) = \frac{2(x + 2) — x}{2(x + 2)\sqrt{x + 2}};$$ $$y'(x) = \frac{2x + 4 — x}{2(x + 2)\sqrt{x + 2}};$$ $$y'(x) = \frac{x + 4}{2(x + 2)\sqrt{x + 2}};$$

$y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x — \cos x}$;

$$y'(x) = \frac{(\sin x + \cos x)’ \cdot (\sin x — \cos x) — (\sin x + \cos x) \cdot (\sin x — \cos x)’}{(\sin x — \cos x)^2};$$ $$y'(x) = \frac{-(\cos x — \sin x) \cdot (\cos x — \sin x) — (\cos x + \sin x) \cdot (\cos x + \sin x)}{\sin^2 x + \cos^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x};$$ $$y'(x) = \frac{-\cos^2 x — \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x — \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x}{1 + \sin 2x};$$ $$y'(x) = \frac{-2(\cos^2 x + \sin^2 x)}{1 + \sin 2x};$$ $$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{\sin 2x-1}$$

1) $y = \dfrac{1 — \cos 2x}{1 + \cos 2x}$

Шаг 1: Используем правило производной дроби:

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}, \quad \text{где } u = 1 — \cos 2x, \, v = 1 + \cos 2x$$

Шаг 2: Найдём производные числителя и знаменателя:

• $u = 1 — \cos 2x$ ⇒ $u’ = 0 — (-\sin 2x) \cdot 2 = 2\sin 2x$
• $v = 1 + \cos 2x$ ⇒ $v’ = 0 + (-\sin 2x) \cdot 2 = -2\sin 2x$

Шаг 3: Подставим в формулу:

$$y'(x) = \frac{2 \sin 2x \cdot (1 + \cos 2x) — (1 — \cos 2x) \cdot (-2 \sin 2x)}{(1 + \cos 2x)^2}$$

Раскроем скобки:

$$= \frac{2 \sin 2x + 2 \sin 2x \cos 2x + 2 \sin 2x — 2 \sin 2x \cos 2x}{(1 + \cos 2x)^2}$$

Сократим подобные:

$$= \frac{4 \sin 2x}{(1 + \cos 2x)^2}$$

Шаг 4: Преобразуем знаменатель:

$$1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x \Rightarrow (1 + \cos 2x)^2 = 4 \cos^4 x$$

Шаг 5: Финальная запись:

$$y'(x) = \frac{4 \sin 2x}{4 \cos^4 x} = \frac{\sin 2x}{\cos^4 x}$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = \frac{\sin 2x}{\cos^4 x}}$$

2) $y = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{4x}$

Шаг 1: Представим в виде дроби $u/v$:

• $u = \sqrt{x + 4} = (x + 4)^{1/2}$
• $v = 4x$

Применим формулу:

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Шаг 2: Найдём производные:

• $u’ = \frac{1}{2}(x + 4)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x + 4}}$
• $v’ = 4$

Шаг 3: Подставим:

$$y’ = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x + 4}} \cdot 4x — \sqrt{x + 4} \cdot 4}{(4x)^2}$$

Упростим числитель:

$$= \frac{\frac{4x}{2\sqrt{x + 4}} — 4\sqrt{x + 4}}{16x^2} = \frac{\frac{2x}{\sqrt{x + 4}} — 4\sqrt{x + 4}}{16x^2}$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{2x — 4(x + 4)}{\sqrt{x + 4} \cdot 16x^2} = \frac{2x — 4x — 16}{16x^2 \cdot \sqrt{x + 4}} = \frac{-2x — 16}{16x^2 \cdot \sqrt{x + 4}}$$

Сократим числитель:

$$= \frac{-x — 8}{8x^2 \cdot \sqrt{x + 4}}$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = \frac{-x — 8}{8x^2 \cdot \sqrt{x + 4}}}$$

3) $y = \dfrac{x}{\sqrt{x + 2}}$

Шаг 1: Применим правило производной дроби $u/v$:

• $u = x$, $u’ = 1$
• $v = \sqrt{x + 2} = (x + 2)^{1/2}$, $v’ = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}}$

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Шаг 2: Подставим:

$$y’ = \frac{1 \cdot \sqrt{x + 2} — x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 2}}}{x + 2}$$

Шаг 3: Приводим к общему числителю:

$$= \frac{\frac{2(x + 2) — x}{2\sqrt{x + 2}}}{x + 2} = \frac{2x + 4 — x}{2(x + 2)\sqrt{x + 2}} = \frac{x + 4}{2(x + 2)\sqrt{x + 2}}$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = \frac{x + 4}{2(x + 2)\sqrt{x + 2}}}$$

4) $y = \dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x — \cos x}$

Шаг 1: Применим правило производной дроби $u/v$:

• $u = \sin x + \cos x$, $u’ = \cos x — \sin x$
• $v = \sin x — \cos x$, $v’ = \cos x + \sin x$

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Шаг 2: Подставим:

$$y’ = \frac{(\cos x — \sin x)(\sin x — \cos x) — (\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x)}{(\sin x — \cos x)^2}$$

Шаг 3: Раскроем скобки:

1. $(\cos x — \sin x)(\sin x — \cos x) = -(\cos x — \sin x)^2 = -(\cos^2 x — 2 \cos x \sin x + \sin^2 x)$
2. $(\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x) = (\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2 \cos x \sin x + \sin^2 x$

Сложим числитель:

$$y’ = \frac{-\cos^2 x — \sin^2 x + 2 \sin x \cos x — \cos^2 x — \sin^2 x — 2 \sin x \cos x}{(\sin x — \cos x)^2}$$ $$= \frac{-2(\cos^2 x + \sin^2 x)}{1 + \sin 2x} = \frac{-2}{1 + \sin 2x}$$

Но в тексте:

$$y’ = \frac{2}{\sin 2x — 1}$$

Это эквивалентно (умножили числитель и знаменатель на $-1$).

Ответ:

$$\boxed{y’ = \frac{2}{\sin 2x — 1}}$$