ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 879 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции (879—881).

1. y=cos2 3x;
2. y=sinxcosx+x;
3. y=(x3+1)cos2x;
4. y=sin2 x/2;
5. y=(x+1) корень 3 cтепени x2;
6. y= корень 3 cтепени (x-1) (x4-1).

1. $y = \cos^2 3x$;
   Пусть $u = \cos 3x$, тогда $f(u) = u^2$;
   $f'(x) = (\cos 3x)’ \cdot (u^2)’ = -3 \sin 3x \cdot 2u = -6 \sin 3x \cdot \cos 3x = -3 \sin 6x$;
2. $y = \sin x \cdot \cos x + x$;
   $y'(x) = (\sin x)’ \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)’ + (x)’$;
   $y’ = \cos^2 x — \sin^2 x + 1 = \cos^2 x — \sin^2 x + \cos^2 x + \sin^2 x = 2 \cos^2 x$;
3. $y = (x^3 + 1) \cdot \cos 2x$;
   $y'(x) = (x^3 + 1)’ \cdot \cos 2x + (x^3 + 1) \cdot (\cos 2x)’$;
   $y’ = 3x^2 \cdot \cos 2x + (x^3 + 1) \cdot (-2 \sin 2x) = 3x^2 \cdot \cos 2x — 2(x^3 + 1) \cdot \sin 2x$;
4. $y = \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{2}$;
   $y'(x) = \left( \frac{1}{2} \right)’ — \frac{1}{2} \cdot (\cos x)’ = 0 — \frac{1}{2} \cdot (-\sin x) = \frac{1}{2} \cdot \sin x$;
5. $y = (x + 1) \cdot \sqrt[3]{x^2}$;
   $y'(x) = (x + 1)’ \cdot \sqrt[3]{x^2} + (x + 1) \cdot \left( \sqrt[3]{x^2} \right)’$;
   $y’ = 1 \cdot \sqrt[3]{x^2} + (x + 1) \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}$;
   $y’ = \sqrt[3]{x^2} + \frac{2(x + 1)}{3 \cdot \sqrt[3]{x}} = \frac{3x + 2}{3 \cdot \sqrt[3]{x}}$;
6. $y = \sqrt[3]{x — 1} \cdot (x^4 — 1)$;
   $y'(x) = (x — 1)^{\frac{1}{3}} \cdot (x^4 — 1) + \sqrt[3]{x — 1} \cdot (x^4 — 1)’$;
   $y’ = \frac{1}{3} \cdot (x — 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^4 — 1) + \sqrt[3]{x — 1} \cdot 4x^3$;
   $y’ = \frac{x^4 — 1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x — 1)^2}} + 4x^3 \cdot \sqrt[3]{x — 1}$;
   $y’ = \frac{x^4 — 1 + 12x^4(x — 1)}{3 \cdot \sqrt[3]{(x — 1)^2}}$;
   $y’ = \frac{13x^4 — 12x^3 — 1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x — 1)^2}}$

1) $y = \cos^2 3x$

Шаг 1: Представим как сложную функцию

$$y = (\cos 3x)^2$$

Пусть:

• $u = \cos 3x$
• Тогда $y = u^2$

Шаг 2: Используем правило производной сложной функции

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

• $\frac{dy}{du} = 2u = 2 \cos 3x$
• $\frac{du}{dx} = (\cos 3x)’ = -\sin 3x \cdot 3 = -3 \sin 3x$

Теперь подставим:

$$y’ = 2 \cos 3x \cdot (-3 \sin 3x) = -6 \sin 3x \cdot \cos 3x$$

Шаг 3: Применим тригонометрическую формулу

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a \Rightarrow \sin 6x = 2 \sin 3x \cos 3x$$

Следовательно:

$$y’ = -6 \sin 3x \cos 3x = -3 \cdot 2 \sin 3x \cos 3x = -3 \sin 6x$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = -3 \sin 6x}$$

2) $y = \sin x \cdot \cos x + x$

Шаг 1: Найдём производную суммы

$$y’ = (\sin x \cdot \cos x)’ + (x)’$$

Шаг 2: Применим правило производной произведения

$$(\sin x \cdot \cos x)’ = (\sin x)’ \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)’ = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x)$$ $$= \cos^2 x — \sin^2 x$$

Шаг 3: Производная от $x$

$$(x)’ = 1$$

Соберём всё вместе:

$$y’ = \cos^2 x — \sin^2 x + 1$$

Шаг 4: Упростим выражение

$$\cos^2 x — \sin^2 x + 1 = (\cos^2 x + 1 — \sin^2 x) = (\cos^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x — \sin^2 x) = 2 \cos^2 x$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = 2 \cos^2 x}$$

3) $y = (x^3 + 1) \cdot \cos 2x$

Шаг 1: Применим правило произведения

$$y’ = (x^3 + 1)’ \cdot \cos 2x + (x^3 + 1) \cdot (\cos 2x)’$$

• $(x^3 + 1)’ = 3x^2$
• $(\cos 2x)’ = -\sin 2x \cdot 2 = -2 \sin 2x$

Подставим:

$$y’ = 3x^2 \cdot \cos 2x + (x^3 + 1) \cdot (-2 \sin 2x)$$ $$y’ = 3x^2 \cdot \cos 2x — 2(x^3 + 1) \cdot \sin 2x$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = 3x^2 \cos 2x — 2(x^3 + 1)\sin 2x}$$

4) $y = \sin^2 \frac{x}{2}$

Используем тождество:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{2}$$

Шаг 1: Найдём производную

$$y = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} \cos x$$ $$y’ = 0 — \frac{1}{2} \cdot (-\sin x) = \frac{1}{2} \sin x$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = \frac{1}{2} \sin x}$$

5) $y = (x + 1) \cdot \sqrt[3]{x^2}$

Запишем корень как степень:

$$y = (x + 1) \cdot x^{\frac{2}{3}}$$

Шаг 1: Применим правило произведения

$$y’ = (x + 1)’ \cdot x^{\frac{2}{3}} + (x + 1) \cdot \left(x^{\frac{2}{3}}\right)’$$

• $(x + 1)’ = 1$
• $\left(x^{\frac{2}{3}}\right)’ = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

Подставим:

$$y’ = 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (x + 1) \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$$ $$y’ = \sqrt[3]{x^2} + \frac{2(x + 1)}{3 \cdot \sqrt[3]{x}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$y’ = \frac{3x + 2}{3 \cdot \sqrt[3]{x}}$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = \frac{3x + 2}{3 \cdot \sqrt[3]{x}}}$$

6) $y = \sqrt[3]{x — 1} \cdot (x^4 — 1)$

Запишем:

$$y = (x — 1)^{\frac{1}{3}} \cdot (x^4 — 1)$$

Шаг 1: Применим правило произведения

$$y’ = \left((x — 1)^{\frac{1}{3}}\right)’ \cdot (x^4 — 1) + (x — 1)^{\frac{1}{3}} \cdot (x^4 — 1)’$$

• $\left((x — 1)^{\frac{1}{3}}\right)’ = \frac{1}{3} (x — 1)^{-\frac{2}{3}}$
• $(x^4 — 1)’ = 4x^3$

Подставим:

$$y’ = \frac{1}{3}(x — 1)^{-\frac{2}{3}}(x^4 — 1) + 4x^3 (x — 1)^{\frac{1}{3}}$$

Переведём в радикалы:

• $(x — 1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(x — 1)^2}}$
• $(x — 1)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x — 1}$

$$y’ = \frac{x^4 — 1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x — 1)^2}} + 4x^3 \cdot \sqrt[3]{x — 1}$$

Шаг 2: Приведём к общему знаменателю (если требуется):

Приведённая форма:

$$y’ = \frac{x^4 — 1 + 12x^4(x — 1)}{3 \cdot \sqrt[3]{(x — 1)^2}} = \frac{13x^4 — 12x^3 — 1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x — 1)^2}}$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = \frac{13x^4 — 12x^3 — 1}{3 \cdot \sqrt[3]{(x — 1)^2}}}$$