ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 874 Алимов — Подробные Ответы

1. sin3x;
2. 8cosx;
3. cos4x;
4. ln (x3).

1. $f(x) = \sin^3 x$;
   Пусть $u = \sin x$, тогда $f(u) = u^3$;
   $f'(x) = (\sin x)’ \cdot (u^3)’ = \cos x \cdot 3u^2 = 3 \sin^2 x \cdot \cos x$;
2. $f(x) = 8^{\cos x}$;
   Пусть $u = \cos x$, тогда $f(u) = 8^u$;
   $f'(x) = (\cos x)’ \cdot (8^u)’ = -\sin x \cdot 8^u \cdot \ln 8 = -8^{\cos x} \cdot \ln 8 \cdot \sin x$;
3. $f(x) = \cos^4 x$;
   Пусть $u = \cos x$, тогда $f(u) = u^4$;
   $f'(x) = (\cos x)’ \cdot (u^4)’ = -\sin x \cdot 4u^3 = -4 \cdot \cos^3 x \cdot \sin x$;
4. $f(x) = \ln(x^3)$;
   Пусть $u = x^3$, тогда $f(u) = \ln u$;
   $f'(x) = (x^3)’ \cdot (\ln u)’ = 3x^2 \cdot \frac{1}{u} = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x}$

Задача 1

Дано:

$f(x) = \sin^3 x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

В данной задаче $f(x) = (\sin x)^3$, это сложная функция, которая является степенной функцией от $\sin x$. Мы можем использовать цепное правило для дифференцирования таких функций. Для этого введем вспомогательную переменную $u = \sin x$, тогда $f(u) = u^3$.

Цепное правило гласит:

$$\frac{d}{dx}(f(u)) = f'(u) \cdot u'(x),$$

где $u(x) = \sin x$.

Производная от $f(u) = u^3$ по правилу степени:

$$f'(u) = 3u^2.$$

Теперь нужно найти производную $u(x) = \sin x$, а это стандартная производная:

$$u'(x) = \cos x.$$

Применяем цепное правило:

$$f'(x) = 3u^2 \cdot u'(x) = 3(\sin x)^2 \cdot \cos x.$$

Ответ:

$$f'(x) = 3 \sin^2 x \cdot \cos x.$$

Задача 2

Дано:

$f(x) = 8^{\cos x}$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

В данной задаче $f(x) = 8^{\cos x}$, это сложная функция, которая включает экспоненциальную форму с основанием 8. Мы можем переписать эту функцию в виде:

$$f(x) = 8^{\cos x} = e^{\cos x \cdot \ln 8}.$$

Это представление позволит применить правила дифференцирования для экспоненциальной функции.

Пусть $u = \cos x$, тогда $f(u) = 8^u$. Для дифференцирования воспользуемся цепным правилом и правилом дифференцирования экспоненциальной функции.

Для дифференцирования $8^u$, сначала находим производную $8^u$ по $u$:

$$\frac{d}{du}(8^u) = 8^u \cdot \ln 8.$$

Производная от $u = \cos x$ по стандартному правилу:

$$u'(x) = -\sin x.$$

Применяем цепное правило:

$$f'(x) = \frac{d}{du}(8^u) \cdot u'(x) = 8^{\cos x} \cdot \ln 8 \cdot (-\sin x).$$

Ответ:

$$f'(x) = -8^{\cos x} \cdot \ln 8 \cdot \sin x.$$

Задача 3

Дано:

$f(x) = \cos^4 x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

В данной задаче $f(x) = (\cos x)^4$, это степенная функция, где $u = \cos x$, и $f(u) = u^4$.

Для дифференцирования используем цепное правило. Сначала находим производную от $f(u) = u^4$ по стандартному правилу степени:

$$f'(u) = 4u^3.$$

Производная от $u = \cos x$ по стандартному правилу:

$$u'(x) = -\sin x.$$

Применяем цепное правило:

$$f'(x) = 4(\cos x)^3 \cdot (-\sin x).$$

Ответ:

$$f'(x) = -4 \cos^3 x \cdot \sin x.$$

Задача 4

Дано:

$f(x) = \ln(x^3)$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

В данной задаче $f(x) = \ln(x^3)$, это логарифмическая функция. Мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения. Заметим, что:

$$\ln(x^3) = 3 \ln x.$$

Теперь задача сводится к нахождению производной от $3 \ln x$. Производная от $\ln x$ по стандартному правилу:

$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}.$$

Применяем эту производную:

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x}.$$

Ответ:

$$f'(x) = \frac{3}{x}.$$