ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 873 Алимов — Подробные Ответы

1. (x3+1)/(x2+1);
2. x2/(x3+1);
3. sinx/(x+1);
4. lnx/(1-x).

1) $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$;

$$f'(x) = \frac{(x^3 + 1)’ \cdot (x^2 + 1) — (x^3 + 1) \cdot (x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x^2 + 1) — (x^3 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{3x^4 + 3x^2 — 2x^4 — 2x}{(x^2 + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 — 2x}{(x^2 + 1)^2};$$

2) $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 1}$;

$$f'(x) = \frac{(x^2)’ \cdot (x^3 + 1) — x^2 \cdot (x^3 + 1)’}{(x^3 + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2x \cdot (x^3 + 1) — x^2 \cdot 3x^2}{(x^3 + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2x^4 + 2x — 3x^4}{(x^3 + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2x — x^4}{(x^3 + 1)^2};$$

3) $f(x) = \frac{\sin x}{x + 1}$;

$$f'(x) = \frac{(\sin x)’ \cdot (x + 1) — \sin x \cdot (x + 1)’}{(x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{\cos x \cdot (x + 1) — \sin x}{(x + 1)^2};$$

4) $f(x) = \frac{\ln x}{1 — x}$;

$$f'(x) = \frac{(\ln x)’ \cdot (1 — x) — \ln x \cdot (1 — x)’}{(1 — x)^2};$$ $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (1 — x) — \ln x \cdot (-1)}{(1 — x)^2};$$ $$f'(x) = \frac{\frac{1 — x}{x} + \ln x}{(1 — x)^2};$$ $$f'(x) = \frac{1 — x + x \ln x}{x(1 — x)^2};$$

Задача 1

Дано:

$f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Задача предполагает использование правила дифференцирования частного для функций вида $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$. Это правило гласит:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Здесь $u(x) = x^3 + 1$ и $v(x) = x^2 + 1$.

1. Дифференцируем $u(x) = x^3 + 1$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2.$$

2. Дифференцируем $v(x) = x^2 + 1$:

   $$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x.$$

Теперь применяем формулу для производной частного:

$$f'(x) = \frac{(u'(x) \cdot v(x)) — (u(x) \cdot v'(x))}{(v(x))^2}$$

Подставляем все найденные производные:

$$f'(x) = \frac{(3x^2 \cdot (x^2 + 1)) — (x^3 + 1) \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$f'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x^2 + 1) — 2x \cdot (x^3 + 1)}{(x^2 + 1)^2}$$

Теперь раскроем скобки:

$$f'(x) = \frac{3x^4 + 3x^2 — 2x^4 — 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

Соберем подобные члены:

$$f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 — 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

Ответ:

$$f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 — 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

Задача 2

Дано:

$f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 1}$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Используем правило дифференцирования частного, как и в предыдущем примере. Мы имеем $u(x) = x^2$ и $v(x) = x^3 + 1$.

1. Дифференцируем $u(x) = x^2$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x.$$

2. Дифференцируем $v(x) = x^3 + 1$:

   $$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2.$$

Теперь применяем формулу для производной частного:

$$f'(x) = \frac{(u'(x) \cdot v(x)) — (u(x) \cdot v'(x))}{(v(x))^2}$$

Подставляем все найденные производные:

$$f'(x) = \frac{(2x \cdot (x^3 + 1)) — (x^2 \cdot 3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$f'(x) = \frac{2x \cdot (x^3 + 1) — 3x^4}{(x^3 + 1)^2}$$

Теперь раскроем скобки:

$$f'(x) = \frac{2x^4 + 2x — 3x^4}{(x^3 + 1)^2}$$

Соберем подобные члены:

$$f'(x) = \frac{2x — x^4}{(x^3 + 1)^2}$$

Ответ:

$$f'(x) = \frac{2x — x^4}{(x^3 + 1)^2}$$

Задача 3

Дано:

$f(x) = \frac{\sin x}{x + 1}$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x + 1$.

1. Дифференцируем $u(x) = \sin x$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x.$$

2. Дифференцируем $v(x) = x + 1$:

   $$v'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1.$$

Теперь применяем формулу для производной частного:

$$f'(x) = \frac{(u'(x) \cdot v(x)) — (u(x) \cdot v'(x))}{(v(x))^2}$$

Подставляем все найденные производные:

$$f'(x) = \frac{(\cos x \cdot (x + 1)) — (\sin x \cdot 1)}{(x + 1)^2}$$

Раскроем скобки:

$$f'(x) = \frac{\cos x \cdot (x + 1) — \sin x}{(x + 1)^2}$$

Ответ:

$$f'(x) = \frac{\cos x \cdot (x + 1) — \sin x}{(x + 1)^2}$$

Задача 4

Дано:

$f(x) = \frac{\ln x}{1 — x}$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = \ln x$ и $v(x) = 1 — x$.

1. Дифференцируем $u(x) = \ln x$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}.$$

2. Дифференцируем $v(x) = 1 — x$:

   $$v'(x) = \frac{d}{dx}(1 — x) = -1.$$

Теперь применяем формулу для производной частного:

$$f'(x) = \frac{(u'(x) \cdot v(x)) — (u(x) \cdot v'(x))}{(v(x))^2}$$

Подставляем все найденные производные:

$$f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{x} \cdot (1 — x)\right) — (\ln x \cdot (-1))}{(1 — x)^2}$$

Упрощаем числитель:

$$f'(x) = \frac{\frac{1 — x}{x} + \ln x}{(1 — x)^2}$$

Ответ:

$$f'(x) = \frac{1 — x + x \ln x}{x(1 — x)^2}$$