ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 870 Алимов — Подробные Ответы

1. ex — sinx;
2. cosx-lnx;
3. sinx- корень 3 степени x;
4. 6×4-9ex;
5. 5/x + 4e4;
6. 1/3×3 + 1lnx/2.

1. $f(x) = e^x — \sin x$;
   $f'(x) = (e^x)’ — (\sin x)’ = e^x — \cos x$;
2. $f(x) = \cos x — \ln x$;
   $f'(x) = (\cos x)’ — (\ln x)’ = -\sin x — \frac{1}{x}$;
3. $f(x) = \sin x — \sqrt[3]{x}$;
   $f'(x) = (\sin x)’ — \left( x^{\frac{1}{3}} \right)’ = \cos x — \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \cos x — \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$;
4. $f(x) = 6x^4 — 9e^x$;
   $f'(x) = 6 \cdot (x^4)’ — 9 \cdot (e^x)’ = 6 \cdot 4x^3 — 9e^x = 24x^3 — 9e^x$;
5. $f(x) = \frac{5}{x} + 4e^x$;
   $f'(x) = 5 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ + 4 \cdot (e^x)’ = 5 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) + 4e^x = -\frac{5}{x^2} + 4e^x$;
6. $f(x) = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2} \ln x$;
   $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^{-3})’ + \frac{1}{2} \cdot (\ln x)’ = \frac{1}{3} \cdot (-3) \cdot x^{-4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$

Задача 1

Дано:

$f(x) = e^x — \sin x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $e^x$ по известному правилу:

  $$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x.$$

• Производная от $\sin x$ по стандартному правилу:

  $$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x.$$

Теперь применяем эти правила:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) — \frac{d}{dx}(\sin x) = e^x — \cos x.$$

Ответ:

$$f'(x) = e^x — \cos x.$$

Задача 2

Дано:

$f(x) = \cos x — \ln x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Используем основные правила:

• Производная от $\cos x$ по стандартному правилу:

  $$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.$$

• Производная от $\ln x$ по известному правилу:

  $$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}.$$

Теперь применяем эти правила:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) — \frac{d}{dx}(\ln x) = -\sin x — \frac{1}{x}.$$

Ответ:

$$f'(x) = -\sin x — \frac{1}{x}.$$

Задача 3

Дано:

$f(x) = \sin x — \sqrt[3]{x}$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Здесь нужно найти производные для каждого члена.

• Производная от $\sin x$:

  $$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x.$$

• Производная от $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ по правилу степени:

  $$\frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

Теперь применяем эти производные:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) — \frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \cos x — \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

Ответ:

$$f'(x) = \cos x — \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}.$$

Задача 4

Дано:

$f(x) = 6x^4 — 9e^x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Для каждого члена используем стандартные правила дифференцирования.

• Производная от $6x^4$ по правилу степени:

  $$\frac{d}{dx}(6x^4) = 6 \cdot 4x^3 = 24x^3.$$

• Производная от $-9e^x$ по известному правилу:

  $$\frac{d}{dx}(-9e^x) = -9e^x.$$

Теперь применяем эти правила:

$$f'(x) = 24x^3 — 9e^x.$$

Ответ:

$$f'(x) = 24x^3 — 9e^x.$$

Задача 5

Дано:

$f(x) = \frac{5}{x} + 4e^x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Для каждого члена используем стандартные правила дифференцирования.

• Производная от $\frac{5}{x} = 5x^{-1}$ по правилу степени:

  $$\frac{d}{dx}(5x^{-1}) = -5x^{-2} = -\frac{5}{x^2}.$$

• Производная от $4e^x$ по известному правилу:

  $$\frac{d}{dx}(4e^x) = 4e^x.$$

Теперь применяем эти правила:

$$f'(x) = -\frac{5}{x^2} + 4e^x.$$

Ответ:

$$f'(x) = -\frac{5}{x^2} + 4e^x.$$

Задача 6

Дано:

$f(x) = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2} \ln x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Для каждого члена используем стандартные правила дифференцирования.

• Производная от $\frac{1}{3x^3} = \frac{1}{3}x^{-3}$ по правилу степени:

  $$\frac{d}{dx}(x^{-3}) = -3x^{-4} \Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^{-3}\right) = \frac{1}{3} \cdot (-3) \cdot x^{-4} = -\frac{1}{x^4}.$$

• Производная от $\frac{1}{2} \ln x$ по известному правилу:

  $$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} \ln x\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x}.$$

Теперь применяем эти правила:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}.$$

Ответ:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}.$$