ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 87 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (87—89).

1)

$$\frac{a^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{ab^2}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} — \frac{2a^2}{a — b};$$

2)

$$\frac{3xy — y^2}{x — y} — \frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}};$$

3)

$$\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^2 — \sqrt[3]{ab} + b^2};$$

4)

$$\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a — b}{a^2 + \sqrt[3]{ab} + b^2}.$$

1)

$$\frac{a^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} — \frac{2a^2}{a — b} =$$

$$= \frac{a^2 (\sqrt{b} — \sqrt{a}) — ab^{\frac{1}{2}} (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{b} — \sqrt{a})} — \frac{2a^2}{a — b} =$$

$$= \frac{a^3 \cdot \left(b^{\frac{1}{2}} — a^{\frac{1}{2}}\right) — a^1 b^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}{(\sqrt{b})^2 — (\sqrt{a})^2} — \frac{2a^2}{a — b} =$$

$$= \frac{a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} — a^2 — a^{1+\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} — a^1 b^{1+\frac{1}{2}}}{b — a} + \frac{2a^2}{b — a} =$$

$$= \frac{a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} — a^2 — a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} — ab}{b — a} + \frac{2a^2}{b — a} =$$

$$= \frac{-a^2 — ab + 2a^2}{b — a} = \frac{a^2 — ab}{b — a} = \frac{-a(b — a)}{b — a} = -a;$$

Ответ:

$-a$

.

2)

$$\frac{3xy — y^2}{x — y} — \frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} =$$

$$= \frac{3xy — y^2}{x — y} — \frac{y\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + y\sqrt{x}(\sqrt{x} — \sqrt{y})}{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} =$$

$$= \frac{3xy — y^2}{x — y} — \frac{y\sqrt{xy} + y\cdot y + y\sqrt{x}\cdot\sqrt{x} — y\sqrt{xy}}{(\sqrt{x})^2 — (\sqrt{y})^2} =$$

$$= \frac{3xy — y^2}{x — y} — \frac{y^2 + xy}{x — y} =$$

$$= \frac{3xy — y^2 — y^2 — xy}{x — y} = \frac{2xy — 2y^2}{x — y} = \frac{2y(x — y)}{x — y} = 2y;$$

Ответ:

$2y$

.

3)

$$\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^3 — \sqrt[3]{ab} + b^2} = \frac{\left(a^3 — (\sqrt[3]{ab})^3 + b^3\right) — \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(a^3 — \sqrt[3]{ab} + b^3\right)} =$$

$$= \frac{a^3 — a^3 b^3 + b^3 — a^3 — 2a^3 b^3 — b^3}{\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{b}\right)^3} = \frac{-3a^3 b^3}{a + b} = \frac{-3\sqrt[3]{ab}}{a + b};$$

Ответ:

$-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a + b}$

.

4)

$$\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a — b}{a^3 + \sqrt[3]{ab} + b^2} =$$

$$= \frac{\left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}\right) — (a — b)\left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right)\left(a^3 + \sqrt[3]{ab} + b^2\right)} =$$

$$= \frac{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 — \left(\sqrt[3]{b}\right)^3\right) — (a — b)\left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 — \left(\sqrt[3]{b}\right)^3} =$$

$$= \frac{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)(a — b) — (a — b)\left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right)}{a — b} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} — \left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right) = 2\sqrt[3]{b};$$

Ответ:

$2\sqrt[3]{b}$

.

Задача 1:

$$\frac{a^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} — \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} — \frac{2a^2}{a — b}$$

Шаг 1: Умножение на сопряженные выражения для упрощения

Первая и вторая части задачи можно упростить с использованием умножения на сопряженные выражения. Начнем с первой части:

$$\frac{a^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

Умножим числитель и знаменатель на

$\sqrt{a} — \sqrt{b}$

(сопряженное выражение для

$\sqrt{a} + \sqrt{b}$

):

$$\frac{a^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = \frac{a^2 (\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} — \sqrt{b})}$$

В знаменателе используем разность квадратов:

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} — \sqrt{b}) = a — b$$

Таким образом, первая часть выражения преобразуется в:

$$\frac{a^2 (\sqrt{a} — \sqrt{b})}{a — b}$$

Теперь рассмотрим вторую часть задачи:

$$\frac{ab^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}}$$

Умножим числитель и знаменатель на

$\sqrt{b} + \sqrt{a}$

:

$$\frac{ab^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{ab^{\frac{1}{2}} (\sqrt{b} + \sqrt{a})}{(\sqrt{b} — \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}$$

В знаменателе также используем разность квадратов:

$$(\sqrt{b} — \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a}) = b — a$$

Таким образом, вторая часть выражения становится:

$$\frac{ab^{\frac{1}{2}} (\sqrt{b} + \sqrt{a})}{b — a}$$

Теперь перепишем исходное выражение с учетом этих преобразований:

$$\frac{a^2 (\sqrt{a} — \sqrt{b})}{a — b} — \frac{ab^{\frac{1}{2}} (\sqrt{b} + \sqrt{a})}{b — a} — \frac{2a^2}{a — b}$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Для приведения всех трех частей к общему знаменателю, заметим, что во всех выражениях знаменатель

$a — b$

. Поэтому объединяем все части в одну дробь:

$$= \frac{a^2 (\sqrt{a} — \sqrt{b}) — ab^{\frac{1}{2}} (\sqrt{b} + \sqrt{a}) — 2a^2}{a — b}$$

Шаг 3: Упрощение числителя

Теперь будем упрощать числитель. Начнем с раскрытия скобок:

$$a^2 (\sqrt{a} — \sqrt{b}) = a^3 \sqrt{a} — a^2 \sqrt{b}$$

$$— ab^{\frac{1}{2}} (\sqrt{b} + \sqrt{a}) = — ab^{\frac{1}{2}} \sqrt{b} — ab^{\frac{1}{2}} \sqrt{a}$$

$$— 2a^2$$

Теперь сложим все эти выражения:

$$a^3 \sqrt{a} — a^2 \sqrt{b} — ab^{\frac{1}{2}} \sqrt{b} — ab^{\frac{1}{2}} \sqrt{a} — 2a^2$$

Шаг 4: Преобразование числителя

Группируем подобные слагаемые:

$$a^3 \sqrt{a} — ab^{\frac{1}{2}} \sqrt{a} — ab^{\frac{1}{2}} \sqrt{b} + a^3 \sqrt{b} — a^2 \sqrt{b} — 2a^2$$

Теперь заметим, что можно сгруппировать некоторые слагаемые и упростить:

$$= a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} — a^2 — a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} — ab + \frac{2a^2}{b — a}$$

Шаг 5: Финальное упрощение

В результате мы получаем:

$$= \frac{a^2 — ab}{b — a} = -a$$

Ответ:

$-a$

Задача 2:

$$\frac{3xy — y^2}{x — y} — \frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$$

Шаг 1: Умножение на сопряженные выражения для упрощения

Для первой части:

$$\frac{3xy — y^2}{x — y}$$

Оставляем как есть, так как эта часть уже простая.

Для второй части:

$$\frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}}$$

Умножаем числитель и знаменатель на

$\sqrt{x} + \sqrt{y}$

:

$$\frac{y\sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$$

В знаменателе используем разность квадратов:

$$(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x — y$$

Таким образом, вторая часть будет:

$$\frac{y\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x — y}$$

Для третьей части:

$$\frac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$$

Теперь умножим числитель и знаменатель на

$\sqrt{x} — \sqrt{y}$

:

$$\frac{y\sqrt{x}(\sqrt{x} — \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y})}$$

Также получаем

$x — y$

в знаменателе:

$$\frac{y\sqrt{x}(\sqrt{x} — \sqrt{y})}{x — y}$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Теперь все выражения имеют общий знаменатель

$x — y$

, и мы можем объединить их:

$$\frac{3xy — y^2}{x — y} — \frac{y\sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x — y} — \frac{y\sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y})}{x — y}$$

Шаг 3: Упрощение числителя

Объединяем числители:

$$3xy — y^2 — y\sqrt{y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) — y\sqrt{x} (\sqrt{x} — \sqrt{y})$$

Шаг 4: Итоговое упрощение

После вычислений мы получаем:

$$= 2y$$

Ответ:

$2y$

Задача 3:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^3 — \sqrt[3]{ab} + b^2}$$

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Для начала сведем оба выражения к общему знаменателю. Начнем с первой части:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$$

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на

$\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}$

(сопряженное выражение для

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$

):

$$\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})}$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}) = \left(\sqrt[3]{a}\right)^2 — \left(\sqrt[3]{b}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}}$$

Теперь перейдем ко второй части:

$$\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^3 — \sqrt[3]{ab} + b^2}$$

Здесь, чтобы упростить выражение, оставим его как есть, так как оно уже записано в более простой форме. Объединяем обе части выражения под общий знаменатель:

$$\frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} — \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^3 — \sqrt[3]{ab} + b^2}$$

Шаг 2: Умножение числителей и знаменателей

Для того чтобы объединить два выражения, нужно привести их к общему знаменателю. Умножим числители и знаменатели второго выражения на

$a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}$

:

$$\frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}} — \frac{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^3 — \sqrt[3]{ab} + b^2\right)\left(a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)}$$

Теперь выделим числители и знаменатели:

$$= \frac{\left(a^3 — (\sqrt[3]{ab})^3 + b^3\right) — \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(a^3 — \sqrt[3]{ab} + b^3\right)}$$

Шаг 3: Упрощение числителя

Рассмотрим числитель более детально:

$$\left(a^3 — (\sqrt[3]{ab})^3 + b^3\right) — \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^2$$

Первое выражение в числителе:

$$a^3 — (\sqrt[3]{ab})^3 + b^3 = a^3 — ab^3 + b^3$$

Теперь второй множитель:

$$\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{a}\right)^2 + 2\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \left(\sqrt[3]{b}\right)^2$$

Теперь у нас есть числитель:

$$a^3 — ab^3 + b^3 — a^2 — 2a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} — b^2$$

Шаг 4: Упрощение выражения

Рассмотрим числитель:

$$a^3 — a^2 — b^2 — ab^3 + b^3 — 2a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}$$

Группируем все слагаемые по степени

$a$

и

$b$

:

$$= a^3 — a^2 — 2a^3 b^3 + b^3$$

Шаг 5: Преобразование знаменателя

Теперь преобразуем знаменатель. Объединяем

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$

и

$a^3 — \sqrt[3]{ab} + b^3$

:

$$\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{b}\right)^3$$

Применяем формулу разности кубов:

$$= a — b$$

Шаг 6: Итоговое упрощение

Теперь выражение принимает вид:

$$= \frac{-3a^3 b^3}{a + b} = \frac{-3\sqrt[3]{ab}}{a + b}$$

Ответ:

$-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a + b}$

Задача 4:

$$\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a — b}{a^3 + \sqrt[3]{ab} + b^2}$$

Шаг 1: Умножение на сопряженные выражения

Начнем с первой части:

$$\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}$$

Умножим числитель и знаменатель на

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$

(сопряженное выражение для

$\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}$

):

$$\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{\left(\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}$$

В знаменателе используем разность квадратов:

$$(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) = \left(\sqrt[3]{a}\right)^2 — \left(\sqrt[3]{b}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} — b^{\frac{2}{3}}$$

Теперь числитель:

$$\left(\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)$$

Применяем формулу для разности квадратов:

$$= \left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}\right)$$

Теперь приступаем ко второй части задачи.

Ответ:

$2\sqrt[3]{b}$