ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 868 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки, в которых касательные к кривым f (х) = х3 — х — 1 и g (х) = 3х2 — 4х + 1 параллельны. Написать уравнения этих касательных.

$f(x) = x^3 — x — 1$ и $g(x) = 3x^2 — 4x + 1$;

Угловые коэффициенты касательных:
$f'(x) = (x^3)’ — (x + 1)’ = 3x^2 — 1;$
$g'(x) = 3 \cdot (x^2)’ — (4x — 1)’ = 3 \cdot 2x — 4 = 6x — 4;$

Абсциссы точек касания:
$3x^2 — 1 = 6x — 4;$
$3x^2 — 6x + 3 = 0;$
$x^2 — 2x + 1 = 0;$
$(x — 1)^2 = 0;$
$x = 1, \text{ откуда } x = 1;$

Ординаты точек касания:
$f(1) = 1^3 — 1 — 1 = -1;$
$g(1) = 3 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 + 1 = 0;$

Уравнение первой касательной:
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 — 1 = 3 — 1 = 2;$
$y = -1 + 2(x — 1) = -1 + 2x — 2 = 2x — 3;$

Уравнение второй касательной:
$g'(1) = 6 \cdot 1 — 4 = 6 — 4 = 2;$
$y = 0 + 2(x — 1) = 2x — 2;$

Ответ: $(1; -1)$, $y = 2x — 3$; $(1; 0)$, $y = 2x — 2$.

Даны функции:
$f(x) = x^3 — x — 1$ и $g(x) = 3x^2 — 4x + 1$

Нужно найти угловые коэффициенты касательных, абсциссы и ординаты точек касания, а также уравнения этих касательных.

Шаг 1: Нахождение производных функций

Для того чтобы найти угловые коэффициенты касательных, нам нужно вычислить производные от этих функций.

Производная функции $f(x)$

Функция $f(x) = x^3 — x — 1$ является полиномом. Для нахождения производной будем использовать стандартные правила дифференцирования:

1. Производная от $x^3$ равна $3x^2$.
2. Производная от $-x$ равна $-1$.
3. Производная от $-1$ равна $0$, так как это константа.

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 3x^2 — 1$$

Производная функции $g(x)$

Функция $g(x) = 3x^2 — 4x + 1$ также является полиномом, и для её дифференцирования применим стандартные правила:

1. Производная от $3x^2$ равна $6x$ (по правилу дифференцирования $ax^n$).
2. Производная от $-4x$ равна $-4$.
3. Производная от $1$ равна $0$.

Таким образом, производная функции $g(x)$ будет:

$$g'(x) = 6x — 4$$

Шаг 2: Найдем абсциссы точек касания

Касательные прямые к графикам функций $f(x)$ и $g(x)$ параллельны, если их угловые коэффициенты равны, то есть $f'(x) = g'(x)$. Нам нужно найти такие $x$, для которых это условие выполнится.

Приравняем производные $f'(x)$ и $g'(x)$:

$$f'(x) = g'(x)$$

Подставим выражения для производных:

$$3x^2 — 1 = 6x — 4$$

Теперь решим это уравнение. Переносим все члены на одну сторону:

$$3x^2 — 6x + 3 = 0$$

Упростим уравнение:

$$x^2 — 2x + 1 = 0$$

Это квадратное уравнение, которое можно решить методом выделения полного квадрата. Преобразуем его:

$$(x — 1)^2 = 0$$

Отсюда:

$$x = 1$$

Таким образом, абсцисса точек касания $x = 1$.

Шаг 3: Найдем ординаты точек касания

Теперь, зная абсциссу точек касания $x = 1$, можем найти ординаты точек касания, подставив $x = 1$ в исходные функции $f(x)$ и $g(x)$.

Ордината для функции $f(x)$

Подставим $x = 1$ в функцию $f(x) = x^3 — x — 1$:

$$f(1) = 1^3 — 1 — 1 = 1 — 1 — 1 = -1$$

Ордината точки касания для функции $f(x)$ равна $f(1) = -1$.

Ордината для функции $g(x)$

Подставим $x = 1$ в функцию $g(x) = 3x^2 — 4x + 1$:

$$g(1) = 3 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 + 1 = 3 — 4 + 1 = 0$$

Ордината точки касания для функции $g(x)$ равна $g(1) = 0$.

Шаг 4: Найдем уравнения касательных

Теперь, зная абсциссы и ординаты точек касания, мы можем найти уравнения касательных.

Уравнение первой касательной (для функции $f(x)$)

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x = 1$ равен $f'(1)$. Подставим $x = 1$ в производную $f'(x) = 3x^2 — 1$:

$$f'(1) = 3 \cdot 1^2 — 1 = 3 — 1 = 2$$

Теперь у нас есть угловой коэффициент касательной $k = 2$, и точка $(1, -1)$ на графике функции $f(x)$. Уравнение касательной имеет вид:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

Подставляем $k = 2$, $x_0 = 1$, $y_0 = -1$:

$$y — (-1) = 2(x — 1)$$ $$y + 1 = 2(x — 1)$$ $$y = 2x — 3$$

Таким образом, уравнение первой касательной:

$$y = 2x — 3$$

Уравнение второй касательной (для функции $g(x)$)

Угловой коэффициент касательной к графику функции $g(x)$ в точке $x = 1$ равен $g'(1)$. Подставим $x = 1$ в производную $g'(x) = 6x — 4$:

$$g'(1) = 6 \cdot 1 — 4 = 6 — 4 = 2$$

Теперь у нас есть угловой коэффициент касательной $k = 2$, и точка $(1, 0)$ на графике функции $g(x)$. Уравнение касательной:

$$y — y_0 = k(x — x_0)$$

Подставляем $k = 2$, $x_0 = 1$, $y_0 = 0$:

$$y — 0 = 2(x — 1)$$ $$y = 2x — 2$$

Таким образом, уравнение второй касательной:

$$y = 2x — 2$$

Ответ:

1. Первая точка касания: $(1; -1)$, уравнение касательной: $y = 2x — 3$
2. Вторая точка касания: $(1; 0)$, уравнение касательной: $y=2x-2$$y = 2x — 2$