ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 867 Алимов — Подробные Ответы

В каких точках касательная к графику функции у=(x+2)/(x-2) образует с осью Ох угол, равный -пи/4?

$y = \frac{x + 2}{x — 2}$ и $a = -\frac{\pi}{4}$;

Угловой коэффициент касательной:

$k = \operatorname{tg} a = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1;$

Производная функции:

$y'(x) = \frac{(x + 2)’ \cdot (x — 2) — (x + 2) \cdot (x — 2)’}{(x — 2)^2};$
$y'(x) = \frac{1 \cdot (x — 2) — (x + 2) \cdot 1}{(x — 2)^2};$
$y'(x) = \frac{x — 2 — x — 2}{(x — 2)^2};$
$y'(x) = -\frac{4}{(x — 2)^2};$

Абсциссы точек касания:

$k = -\frac{4}{(x — 2)^2} = -1;$
$\frac{4}{(x — 2)^2} = 1;$
$4 = (x — 2)^2;$
$x^2 — 4x + 4 — 4 = 0;$
$x^2 — 4x = 0;$
$x(x — 4) = 0;$
$x = 0 \text{ или } x = 4;$

Ординаты точек касания:

$f(0) = \frac{0 + 2}{0 — 2} = \frac{2}{-2} = -1;$
$f(4) = \frac{4 + 2}{4 — 2} = \frac{6}{2} = 3;$

Ответ: $(0; -1)$; $(4; 3)$.

$y = \frac{x + 2}{x — 2}$ и $a = -\frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Определим угловой коэффициент касательной

Касательная прямой к графику функции в некоторой точке имеет угловой коэффициент, равный производной функции в этой точке. В данном случае угловой коэффициент задан углом $a = -\frac{\pi}{4}$, и мы можем найти его тангенс:

$$k = \operatorname{tg} a = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен $k = -1$.

Шаг 2: Найдем производную функции

Для нахождения касательной нам нужно вычислить производную функции $y = \frac{x + 2}{x — 2}$, которая является дробной функцией.

Производную от дробной функции можно найти с помощью правила дифференцирования дроби:

$$y'(x) = \frac{(u'(x) \cdot v(x)) — (u(x) \cdot v'(x))}{[v(x)]^2}$$

где $u(x) = x + 2$, а $v(x) = x — 2$. Теперь найдем производные этих функций:

$$u'(x) = 1 \quad \text{и} \quad v'(x) = 1$$

Теперь подставим все в формулу для производной:

$$y'(x) = \frac{1 \cdot (x — 2) — (x + 2) \cdot 1}{(x — 2)^2}$$

Упростим числитель:

$$y'(x) = \frac{x — 2 — x — 2}{(x — 2)^2}$$ $$y'(x) = \frac{-4}{(x — 2)^2}$$

Теперь мы имеем выражение для производной функции $y'(x) = -\frac{4}{(x — 2)^2}$.

Шаг 3: Найдем абсциссы точек касания

Мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен $k = -1$. Таким образом, чтобы найти абсциссу точки касания, нам нужно приравнять производную к $k$:

$$k = -\frac{4}{(x — 2)^2} = -1$$

Преобразуем это уравнение:

$$\frac{4}{(x — 2)^2} = 1$$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от дроби:

$$4 = (x — 2)^2$$

Раскроем скобки:

$$4 = x^2 — 4x + 4$$

Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:

$$x^2 — 4x + 4 — 4 = 0$$ $$x^2 — 4x = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем вынести общий множитель $x$:

$$x(x — 4) = 0$$

Таким образом, у нас два возможных решения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4$$

Шаг 4: Найдем ординаты точек касания

Теперь, зная абсциссы точек касания $x = 0$ и $x = 4$, найдем соответствующие ординаты, подставив эти значения в исходное уравнение функции $y = \frac{x + 2}{x — 2}$.

Для $x = 0$:

$$f(0) = \frac{0 + 2}{0 — 2} = \frac{2}{-2} = -1$$

Таким образом, точка касания на графике функции при $x = 0$ имеет координаты $(0, -1)$.

Для $x = 4$:

$$f(4) = \frac{4 + 2}{4 — 2} = \frac{6}{2} = 3$$

Таким образом, точка касания на графике функции при $x = 4$ имеет координаты $(4, 3)$.

Ответ:

Точки касания: $(0; -1)$ и $(4; 3)$.