ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 866 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки графика функции у = f (х), в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = kx:

1. f(x)=ex + e^-x, k=3/2;
2. f(x)= корень (3x+1), k=3/4;
3. f(x)=sin2x, k=2;
4. f(x)=x+sinx, k=0.

Прямые параллельны, когда равны их угловые коэффициенты.

1) $f(x) = e^x + e^{-x}$ и $k = \frac{3}{2}$;

$f'(x) = (e^x)’ + (e^{-x})’ = e^x — e^{-x}$;

Абсцисса точки касания:

$$k = e^x — e^{-x} = \frac{3}{2};$$ $$e^x — \frac{1}{e^x} = \frac{3}{2};$$ $$e^{2x} — 1 = \frac{3}{2} e^x;$$ $$2e^{2x} — 3e^x — 2 = 0;$$

Пусть $y = e^x$, тогда:

$$2y^2 — 3y — 2 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = 2;$$

Первое уравнение:

$$e^x = -\frac{1}{2} < 0 \quad \text{— корней нет;}$$

Второе уравнение:

$$e^x = 2;$$ $$e^x = e^{\ln 2};$$ $$x = \ln 2;$$

Ордината точки касания:

$$f(\ln 2) = e^{\ln 2} + e^{-\ln 2} = e^{\ln 2} + e^{\ln 0.5} = 2 + 0.5 = 2.5;$$

Ответ: $(\ln 2; 2.5)$.

2) $f(x) = \sqrt{3x + 1}$ и $k = \frac{3}{4}$;

$f'(x) = (3x + 1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3x + 1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$;

Абсцисса точки касания:

$$k = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} = \frac{3}{4};$$ $$2\sqrt{3x + 1} = 4;$$ $$4(3x + 1) = 16;$$ $$12x + 4 = 16;$$ $$12x = 12, \text{отсюда } x = 1;$$

Ордината точки касания:

$$f(1) = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2;$$

Ответ: $(1; 2)$.

3) $f(x) = \sin 2x$ и $k = 2$;

$f'(x) = (\sin 2x)’ = 2 \cos 2x$;

Абсцисса точки касания:

$$k = 2 \cos 2x = 2;$$ $$\cos 2x = 1;$$ $$2x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot (2\pi n) = \pi n;$$

Ордината точки касания:

$$f(\pi n) = \sin 2\pi n = \sin 0 = 0;$$

Ответ: $(\pi n; 0)$.

4) $f(x) = x + \sin x$ и $k = 0$;

$f'(x) = (x)’ + (\sin x)’ = 1 + \cos x$;

Абсцисса точки касания:

$$k = 1 + \cos x = 0;$$ $$\cos x = -1;$$ $$x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$

Ордината точки касания:

$$f(\pi + 2\pi n) = \pi + 2\pi n + \sin(\pi + 2\pi n) = \pi + 2\pi n + \sin \pi = \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $(\pi + 2\pi n; \pi + 2\pi n)$.

Прямые параллельны, когда равны их угловые коэффициенты.

1) $f(x) = e^x + e^{-x}$ и $k = \frac{3}{2}$

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$

Для того чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно вычислить производную функции $f(x)$.

$$f(x) = e^x + e^{-x}$$

Производная от $e^x$ равна $e^x$, а производная от $e^{-x}$ по цепному правилу равна $-e^{-x}$. Таким образом:

$$f'(x) = (e^x)’ + (e^{-x})’ = e^x — e^{-x}$$

Шаг 2: Определим абсциссу точки касания

Точка касания — это такая точка на графике функции, где угловой коэффициент касательной равен $\frac{3}{2}$. Угловой коэффициент касательной в любой точке $x$ функции $f(x)$ равен значению её производной в этой точке.

Таким образом, нам нужно решить уравнение для $x$, где $f'(x) = \frac{3}{2}$:

$$e^x — e^{-x} = \frac{3}{2}$$

Теперь умножим обе части уравнения на $e^x$ (чтобы избавиться от отрицательной степени):

$$e^{2x} — 1 = \frac{3}{2} e^x$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2e^{2x} — 2 = 3e^x$$

Переносим все на одну сторону:

$$2e^{2x} — 3e^x — 2 = 0$$

Шаг 3: Замена переменной для упрощения уравнения

Теперь видим, что у нас получилось квадратное уравнение относительно $e^x$. Чтобы упростить решение, введем замену переменной:

$$y = e^x$$

Тогда уравнение превращается в следующее:

$$2y^2 — 3y — 2 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение относительно $y$. Для этого используем формулу для решения квадратного уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

В нашем уравнении $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$. Подставим эти значения в формулу:

$$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}$$ $$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}$$ $$y = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}$$ $$y = \frac{3 \pm 5}{4}$$

Таким образом, у нас два возможных значения для $y$:

$$y_1 = \frac{3 — 5}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$$

Шаг 5: Исключение невозможного решения

Поскольку $y = e^x$ и экспонента всегда положительна, то значение $y = -\frac{1}{2}$ невозможно. Оставляем только $y = 2$.

Шаг 6: Найдем $x$

Поскольку $y = e^x$, то получаем:

$$e^x = 2$$

Теперь возьмем натуральный логарифм обеих сторон:

$$x = \ln 2$$

Таким образом, абсцисса точки касания — это $x = \ln 2$.

Шаг 7: Найдем ординату точки касания

Теперь, чтобы найти ординату точки касания, подставим найденное значение $x = \ln 2$ в исходную функцию $f(x) = e^x + e^{-x}$:

$$f(\ln 2) = e^{\ln 2} + e^{-\ln 2} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5$$

Таким образом, ордината точки касания равна 2.5.

Ответ для первого пункта: $(\ln 2; 2.5)$

2) $f(x) = \sqrt{3x + 1}$ и $k = \frac{3}{4}$

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$

Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3x + 1}$.

Используем правило дифференцирования функции вида $(g(x))^{n}$, где $g(x) = 3x + 1$ и $n = \frac{1}{2}$. По правилу цепочки:

$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3x + 1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$$

Шаг 2: Определим абсциссу точки касания

Теперь найдём точку касания, для которой угловой коэффициент равен $\frac{3}{4}$. То есть, решим уравнение:

$$\frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} = \frac{3}{4}$$

Умножим обе части на 4:

$$\frac{6}{\sqrt{3x + 1}} = 3$$

Разделим обе части на 3:

$$\frac{2}{\sqrt{3x + 1}} = 1$$

Умножим обе части на $\sqrt{3x + 1}$:

$$2 = \sqrt{3x + 1}$$

Теперь возведем обе части в квадрат:

$$4 = 3x + 1$$

Решим это уравнение:

$$3x = 3 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 3: Найдем ординату точки касания

Теперь, чтобы найти ординату точки касания, подставим $x = 1$ в исходную функцию $f(x) = \sqrt{3x + 1}$:

$$f(1) = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Ответ для второго пункта: $(1; 2)$

3) $f(x) = \sin 2x$ и $k = 2$

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$

Найдем производную функции $f(x) = \sin 2x$ с помощью правила дифференцирования для функции $\sin(kx)$:

$$f'(x) = 2 \cos 2x$$

Шаг 2: Определим абсциссу точки касания

Теперь, чтобы найти точку касания, при которой угловой коэффициент равен 2, решим уравнение:

$$2 \cos 2x = 2$$

Разделим обе части на 2:

$$\cos 2x = 1$$

Решаем это уравнение:

$$2x = \arccos(1) + 2\pi n = 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \pi n$$

Шаг 3: Найдем ординату точки касания

Теперь, чтобы найти ординату точки касания, подставим $x = \pi n$ в исходную функцию $f(x) = \sin 2x$:

$$f(\pi n) = \sin 2\pi n = 0$$

Ответ для третьего пункта: $(\pi n; 0)$

4) $f(x) = x + \sin x$ и $k = 0$

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$

Найдем производную функции $f(x) = x + \sin x$:

$$f'(x) = 1 + \cos x$$

Шаг 2: Определим абсциссу точки касания

Теперь, чтобы найти точку касания, при которой угловой коэффициент равен 0, решим уравнение:

$$1 + \cos x = 0$$ $$\cos x = -1$$

Решаем это уравнение:

$$x = \pi + 2\pi n$$

Шаг 3: Найдем ординату точки касания

Теперь, чтобы найти ординату точки касания, подставим $x = \pi + 2\pi n$ в исходную функцию $f(x) = x + \sin x$:

$$f(\pi + 2\pi n) = \pi + 2\pi n + \sin(\pi + 2\pi n) = \pi + 2\pi n + \sin \pi = \pi + 2\pi n$$

Ответ для четвертого пункта: $(\pi + 2\pi n; \pi + 2\pi n)$

Итоговый ответ:

1. $(\ln 2; 2.5)$
2. $(1; 2)$
3. $(\pi n; 0)$
4. $(\pi + 2\pi n; \pi + 2\pi n)$