Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.
Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.
Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.
Преимущества учебника
- Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения. - Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач. - Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам. - Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры. - Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.
Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 865 Алимов — Подробные Ответы
Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной:
- у = х4 и у = х6 + 2х2;
- у = х4 и у = х3 — 3х2;
- у = (х + 2)2 и у = 2 — х2;
- у = х (2 + х) и у = х (2 — х).
Через одну точку можно провести только одну прямую с данным угловым коэффициентом;
и ;
Точка пересечения кривых:
Пусть , тогда:
Первая касательная:
Вторая касательная:
Уравнение касательной:
Ответ: .
и ;
Точка пересечения кривых:
Первая касательная:
Вторая касательная:
Уравнение касательной:
Ответ: .
и ;
Точка пересечения кривых:
Первая касательная:
y'(x) = (x + 2)² = 2(x + 2);
Вторая касательная:
Уравнение касательной:
Ответ: .
и ;
Точка пересечения кривых:
Первая касательная:
Вторая касательная:
Уравнение касательной:
Ответ: .
Для подробного решения задачи, давайте пройдем через каждый пункт очень тщательно, с объяснениями всех шагов. Мы будем рассматривать все необходимые вычисления и выводы.
1) Кривые и
Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых
Нам нужно найти , в котором обе кривые пересекаются. То есть, приравняем правые части уравнений:
Переносим все на одну сторону:
Затем группируем:
Извлекаем общий множитель :
Решения этого уравнения могут быть или из уравнения .
Для уравнения , подставим , получим:
Вычислим дискриминант :
Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней. Таким образом, единственное решение для — это .
Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных
Первая касательная (кривой )
Найдем производную . Тогда угловой коэффициент касательной в точке будет:
Таким образом, угловой коэффициент первой касательной равен 0, и её уравнение будет горизонтальной прямой.
Вторая касательная (кривой )
Найдем производную . Угловой коэффициент касательной в точке будет:
Таким образом, угловой коэффициент второй касательной тоже равен 0, и её уравнение также будет горизонтальной прямой.
Шаг 3: Уравнения касательных
Так как обе касательные имеют угловой коэффициент 0, их уравнения будут вида .
Ответ для первой пары кривых: .
2) Кривые и
Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых
Приравняем правые части:
Переносим все на одну сторону:
Извлекаем общий множитель :
Решения этого уравнения могут быть или из уравнения .
Для уравнения находим дискриминант:
Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Таким образом, единственное решение для — это .
Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных
Первая касательная (кривой )
Производная от равна:
Угловой коэффициент касательной в точке :
Вторая касательная (кривой )
Производная от равна:
Угловой коэффициент касательной в точке :
Шаг 3: Уравнения касательных
Так как обе касательные имеют угловой коэффициент 0, их уравнения будут вида .
Ответ для второй пары кривых: .
3) Кривые и
Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых
Приравняем правые части:
Раскроем скобки:
Переносим все на одну сторону:
Собираем подобные:
Делим на 2:
Решаем это уравнение:
Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных
Первая касательная (кривой )
Производная от равна:
Угловой коэффициент касательной в точке :
Вторая касательная (кривой )
Производная от равна:
Угловой коэффициент касательной в точке :
Шаг 3: Уравнение касательной
Для первой кривой в точке :
Уравнение касательной для первой кривой:
Ответ для третьей пары кривых: .
4) Кривые и
Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых
Приравняем правые части:
Раскроем скобки:
Переносим все на одну сторону:
Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных
Первая касательная (кривой )
Производная от равна:
Угловой коэффициент касательной в точке :
Вторая касательная (кривой )
Производная от равна:
Угловой коэффициент касательной в точке :
Шаг 3: Уравнение касательной
Для первой кривой в точке :
Уравнение касательной для первой кривой:
Ответ для четвертой пары кривых: .
Задачи для внеклассной работы