1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части
Алгебра
10-11 класс учебник Алимов
10 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.
Год
2015-2024.
Издательство
Просвещение.
Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

  1. Четкая структура материала
    Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
  2. Пошаговые объяснения
    Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
  3. Разнообразие упражнений
    В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
  4. Практическая направленность
    Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
  5. Подготовка к ЕГЭ
    Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 865 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной:

  1. у = х4 и у = х6 + 2х2;
  2. у = х4 и у = х3 — 3х2;
  3. у = (х + 2)2 и у = 2 — х2;
  4. у = х (2 + х) и у = х (2 — х).
Краткий ответ:

Через одну точку можно провести только одну прямую с данным угловым коэффициентом;

1) y=x4y = x^4 и y=x6+2x2y = x^6 + 2x^2;

Точка пересечения кривых:

x4=x6+2x2;x^4 = x^6 + 2x^2; x6x4+2x2=0;x^6 — x^4 + 2x^2 = 0; x2(x4x2+2)=0, отсюда x=0;x^2 \cdot (x^4 — x^2 + 2) = 0, \text{ отсюда } x = 0; x4x2+2=0;x^4 — x^2 + 2 = 0;

Пусть y=x2y = x^2, тогда:

y2y+2=0;y^2 — y + 2 = 0; D=1242=18=7<0;D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7 < 0;

Первая касательная:

y(x)=(x4)=4x3;y'(x) = (x^4)’ = 4x^3; k=f(0)=403=0;k = f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0; a=arctg0=0;a = \arctg 0 = 0;

Вторая касательная:

y(x)=(x6)+2(x2)=6x5+22x=6x5+4x;y'(x) = (x^6)’ + 2 \cdot (x^2)’ = 6x^5 + 2 \cdot 2x = 6x^5 + 4x; k=y(0)=605+40=0+0=0;k = y'(0) = 6 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0 = 0 + 0 = 0;

Уравнение касательной:

y(0)=06=0;y(0) = 0^6 = 0; y=0+0(x0)=0;y = 0 + 0(x — 0) = 0;

Ответ: y=0y = 0.

2) y=x4y = x^4 и y=x33x2y = x^3 — 3x^2;

Точка пересечения кривых:

x4=x33x2;x^4 = x^3 — 3x^2; x4x3+3x2=0;x^4 — x^3 + 3x^2 = 0; x2(x2x+3)=0, отсюда x=0;x^2 \cdot (x^2 — x + 3) = 0, \text{ отсюда } x = 0; x2x+3=0;x^2 — x + 3 = 0; D=1243=112=11<0;D = 1^2 — 4 \cdot 3 = 1 — 12 = -11 < 0;

Первая касательная:

y(x)=(x4)=4x3;y'(x) = (x^4)’ = 4x^3; k=y(0)=403=0;k = y'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0;

Вторая касательная:

y(x)=(x3)3(x2)=3x232x=3x26x;y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x = 3x^2 — 6x; k=y(0)=30260=00=0;k = y'(0) = 3 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 = 0 — 0 = 0;

Уравнение касательной:

y(0)=04=0;y(0) = 0^4 = 0; y=0+0(x0)=0;y = 0 + 0(x — 0) = 0;

Ответ: y=0y = 0.

3) y=(x+2)2y = (x + 2)^2 и y=2x2y = 2 — x^2;

Точка пересечения кривых:

(x+2)2=2x2;(x + 2)^2 = 2 — x^2; x2+4x+42+x2=0;x^2 + 4x + 4 — 2 + x^2 = 0; 2x2+4x+2=0;2x^2 + 4x + 2 = 0; 2(x2+2x+1)=0;2(x^2 + 2x + 1) = 0; (x+1)2=0;(x + 1)^2 = 0; x+1=0, отсюда x=1;x + 1 = 0, \text{ отсюда } x = -1;

Первая касательная:

y'(x) = (x + 2)² = 2(x + 2); k=y(1)=2(1+2)=21=2;k = y'(-1) = 2(-1 + 2) = 2 \cdot 1 = 2;

Вторая касательная:

y(x)=(2)(x2)=02x=2x;y'(x) = (2)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x; k=y(1)=2(1)=2;k = y'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2;

Уравнение касательной:

y(1)=(1+2)2=12=1;y(-1) = (-1 + 2)^2 = 1^2 = 1; y=1+2(x+1)=1+2x+2=2x+3;y = 1 + 2(x + 1) = 1 + 2x + 2 = 2x + 3;

Ответ: y=2x+3y = 2x + 3.

4) y=x(2+x)y = x(2 + x) и y=x(2x)y = x(2 — x);

Точка пересечения кривых:

x(2+x)=x(2x);x(2 + x) = x(2 — x); 2x+x2=2xx2;2x + x^2 = 2x — x^2; 2x2=0, отсюда x=0;2x^2 = 0, \text{ отсюда } x = 0;

Первая касательная:

y(x)=(x(2+x))=(2x)+(x2)=2+2x;y'(x) = (x(2 + x))’ = (2x)’ + (x^2)’ = 2 + 2x; k=y(0)=2+20=2+0=2;k = y'(0) = 2 + 2 \cdot 0 = 2 + 0 = 2;

Вторая касательная:

y(x)=(x(2x))=(2x)(x2)=22x;y'(x) = (x(2 — x))’ = (2x)’ — (x^2)’ = 2 — 2x; k=y(0)=220=20=2;k = y'(0) = 2 — 2 \cdot 0 = 2 — 0 = 2;

Уравнение касательной:

y(0)=0(2+0)=0;y(0) = 0 \cdot (2 + 0) = 0; y=0+2(x0)=2x;y = 0 + 2(x — 0) = 2x;

Ответ: y=2xy = 2x.

\boxed{y = 2x}

Подробный ответ:

Для подробного решения задачи, давайте пройдем через каждый пункт очень тщательно, с объяснениями всех шагов. Мы будем рассматривать все необходимые вычисления и выводы.

1) Кривые y=x4y = x^4 и y=x6+2x2y = x^6 + 2x^2

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых

Нам нужно найти xx, в котором обе кривые пересекаются. То есть, приравняем правые части уравнений:

x4=x6+2x2x^4 = x^6 + 2x^2

Переносим все на одну сторону:

x4x62x2=0x^4 — x^6 — 2x^2 = 0

Затем группируем:

x6x4+2x2=0x^6 — x^4 + 2x^2 = 0

Извлекаем общий множитель x2x^2:

x2(x4x2+2)=0x^2(x^4 — x^2 + 2) = 0

Решения этого уравнения могут быть x=0x = 0 или из уравнения x4x2+2=0x^4 — x^2 + 2 = 0.

Для уравнения x4x2+2=0x^4 — x^2 + 2 = 0, подставим y=x2y = x^2, получим:

y2y+2=0y^2 — y + 2 = 0

Вычислим дискриминант DD:

D=1242=18=7D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней. Таким образом, единственное решение для xx — это x=0x = 0.

Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных

Первая касательная (кривой y=x4y = x^4)

Найдем производную y(x)=4x3y'(x) = 4x^3. Тогда угловой коэффициент касательной в точке x=0x = 0 будет:

k1=f(0)=403=0k_1 = f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0

Таким образом, угловой коэффициент первой касательной равен 0, и её уравнение будет горизонтальной прямой.

Вторая касательная (кривой y=x6+2x2y = x^6 + 2x^2)

Найдем производную y(x)=6x5+4xy'(x) = 6x^5 + 4x. Угловой коэффициент касательной в точке x=0x = 0 будет:

k2=y(0)=605+40=0k_2 = y'(0) = 6 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0 = 0

Таким образом, угловой коэффициент второй касательной тоже равен 0, и её уравнение также будет горизонтальной прямой.

Шаг 3: Уравнения касательных

Так как обе касательные имеют угловой коэффициент 0, их уравнения будут вида y=0y = 0.

Ответ для первой пары кривых: y=0y = 0.

2) Кривые y=x4y = x^4 и y=x33x2y = x^3 — 3x^2

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых

Приравняем правые части:

x4=x33x2x^4 = x^3 — 3x^2

Переносим все на одну сторону:

x4x3+3x2=0x^4 — x^3 + 3x^2 = 0

Извлекаем общий множитель x2x^2:

x2(x2x+3)=0x^2(x^2 — x + 3) = 0

Решения этого уравнения могут быть x=0x = 0 или из уравнения x2x+3=0x^2 — x + 3 = 0.

Для уравнения x2x+3=0x^2 — x + 3 = 0 находим дискриминант:

D=(1)2413=112=11D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 — 12 = -11

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Таким образом, единственное решение для xx — это x=0x = 0.

Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных

Первая касательная (кривой y=x4y = x^4)

Производная от y=x4y = x^4 равна:

y(x)=4x3y'(x) = 4x^3

Угловой коэффициент касательной в точке x=0x = 0:

k1=y(0)=403=0k_1 = y'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0

Вторая касательная (кривой y=x33x2y = x^3 — 3x^2)

Производная от y=x33x2y = x^3 — 3x^2 равна:

y(x)=3x26xy'(x) = 3x^2 — 6x

Угловой коэффициент касательной в точке x=0x = 0:

k2=y(0)=30260=0k_2 = y'(0) = 3 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 = 0

Шаг 3: Уравнения касательных

Так как обе касательные имеют угловой коэффициент 0, их уравнения будут вида y=0y = 0.

Ответ для второй пары кривых: y=0y = 0.

3) Кривые y=(x+2)2y = (x + 2)^2 и y=2x2y = 2 — x^2

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых

Приравняем правые части:

(x+2)2=2x2(x + 2)^2 = 2 — x^2

Раскроем скобки:

x2+4x+4=2x2x^2 + 4x + 4 = 2 — x^2

Переносим все на одну сторону:

x2+4x+4+x22=0x^2 + 4x + 4 + x^2 — 2 = 0

Собираем подобные:

2x2+4x+2=02x^2 + 4x + 2 = 0

Делим на 2:

x2+2x+1=0x^2 + 2x + 1 = 0

Решаем это уравнение:

(x+1)2=0x=1(x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1

Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных

Первая касательная (кривой y=(x+2)2y = (x + 2)^2)

Производная от y=(x+2)2y = (x + 2)^2 равна:

y(x)=2(x+2)y'(x) = 2(x + 2)

Угловой коэффициент касательной в точке x=1x = -1:

k1=y(1)=2(1+2)=21=2k_1 = y'(-1) = 2(-1 + 2) = 2 \cdot 1 = 2

Вторая касательная (кривой y=2x2y = 2 — x^2)

Производная от y=2x2y = 2 — x^2 равна:

y(x)=2xy'(x) = -2x

Угловой коэффициент касательной в точке x=1x = -1:

k2=y(1)=2(1)=2k_2 = y'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2

Шаг 3: Уравнение касательной

Для первой кривой в точке x=1x = -1:

y(1)=(1+2)2=12=1y(-1) = (-1 + 2)^2 = 1^2 = 1

Уравнение касательной для первой кривой:

y=1+2(x+1)=1+2x+2=2x+3y = 1 + 2(x + 1) = 1 + 2x + 2 = 2x + 3

Ответ для третьей пары кривых: y=2x+3y = 2x + 3.

4) Кривые y=x(2+x)y = x(2 + x) и y=x(2x)y = x(2 — x)

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых

Приравняем правые части:

x(2+x)=x(2x)x(2 + x) = x(2 — x)

Раскроем скобки:

2x+x2=2xx22x + x^2 = 2x — x^2

Переносим все на одну сторону:

2x2=0x=02x^2 = 0 \Rightarrow x = 0

Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных

Первая касательная (кривой y=x(2+x)y = x(2 + x))

Производная от y=x(2+x)y = x(2 + x) равна:

y(x)=2+2xy'(x) = 2 + 2x

Угловой коэффициент касательной в точке x=0x = 0:

k1=y(0)=2+20=2k_1 = y'(0) = 2 + 2 \cdot 0 = 2

Вторая касательная (кривой y=x(2x)y = x(2 — x))

Производная от y=x(2x)y = x(2 — x) равна:

y(x)=22xy'(x) = 2 — 2x

Угловой коэффициент касательной в точке x=0x = 0:

k2=y(0)=220=2k_2 = y'(0) = 2 — 2 \cdot 0 = 2

Шаг 3: Уравнение касательной

Для первой кривой в точке x=0x = 0:

y(0)=0(2+0)=0y(0) = 0 \cdot (2 + 0) = 0

Уравнение касательной для первой кривой:

y=0+2(x0)=2xy = 0 + 2(x — 0) = 2x

Ответ для четвертой пары кривых: y=2xy = 2x.

\boxed{y = 2x}


Задачи для внеклассной работы
Общая оценка
4.7 / 5
Комментарии
Другие предметы
Алгебра
10-10 класс