ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 865 Алимов — Подробные Ответы

Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной:

1. у = х4 и у = х6 + 2х2;
2. у = х4 и у = х3 — 3х2;
3. у = (х + 2)2 и у = 2 — х2;
4. у = х (2 + х) и у = х (2 — х).

Через одну точку можно провести только одну прямую с данным угловым коэффициентом;

$y = x^4$ и $y = x^6 + 2x^2$;

Точка пересечения кривых:

$$x^4 = x^6 + 2x^2;$$ $$x^6 — x^4 + 2x^2 = 0;$$ $$x^2 \cdot (x^4 — x^2 + 2) = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$ $$x^4 — x^2 + 2 = 0;$$

Пусть $y = x^2$, тогда:

$$y^2 — y + 2 = 0;$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7 < 0;$$

Первая касательная:

$$y'(x) = (x^4)’ = 4x^3;$$ $$k = f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0;$$ $$a = \arctg 0 = 0;$$

Вторая касательная:

$$y'(x) = (x^6)’ + 2 \cdot (x^2)’ = 6x^5 + 2 \cdot 2x = 6x^5 + 4x;$$ $$k = y'(0) = 6 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0 = 0 + 0 = 0;$$

Уравнение касательной:

$$y(0) = 0^6 = 0;$$ $$y = 0 + 0(x — 0) = 0;$$

Ответ: $y = 0$.

$y = x^4$ и $y = x^3 — 3x^2$;

Точка пересечения кривых:

$$x^4 = x^3 — 3x^2;$$ $$x^4 — x^3 + 3x^2 = 0;$$ $$x^2 \cdot (x^2 — x + 3) = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$ $$x^2 — x + 3 = 0;$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 3 = 1 — 12 = -11 < 0;$$

Первая касательная:

$$y'(x) = (x^4)’ = 4x^3;$$ $$k = y'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0;$$

Вторая касательная:

$$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x = 3x^2 — 6x;$$ $$k = y'(0) = 3 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 = 0 — 0 = 0;$$

Уравнение касательной:

$$y(0) = 0^4 = 0;$$ $$y = 0 + 0(x — 0) = 0;$$

Ответ: $y = 0$.

$y = (x + 2)^2$ и $y = 2 — x^2$;

Точка пересечения кривых:

$$(x + 2)^2 = 2 — x^2;$$ $$x^2 + 4x + 4 — 2 + x^2 = 0;$$ $$2x^2 + 4x + 2 = 0;$$ $$2(x^2 + 2x + 1) = 0;$$ $$(x + 1)^2 = 0;$$ $$x + 1 = 0, \text{ отсюда } x = -1;$$

Первая касательная:

y'(x) = (x + 2)² = 2(x + 2); $$k = y'(-1) = 2(-1 + 2) = 2 \cdot 1 = 2;$$

Вторая касательная:

$$y'(x) = (2)’ — (x^2)’ = 0 — 2x = -2x;$$ $$k = y'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2;$$

Уравнение касательной:

$$y(-1) = (-1 + 2)^2 = 1^2 = 1;$$ $$y = 1 + 2(x + 1) = 1 + 2x + 2 = 2x + 3;$$

Ответ: $y = 2x + 3$.

$y = x(2 + x)$ и $y = x(2 — x)$;

Точка пересечения кривых:

$$x(2 + x) = x(2 — x);$$ $$2x + x^2 = 2x — x^2;$$ $$2x^2 = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$

Первая касательная:

$$y'(x) = (x(2 + x))’ = (2x)’ + (x^2)’ = 2 + 2x;$$ $$k = y'(0) = 2 + 2 \cdot 0 = 2 + 0 = 2;$$

Вторая касательная:

$$y'(x) = (x(2 — x))’ = (2x)’ — (x^2)’ = 2 — 2x;$$ $$k = y'(0) = 2 — 2 \cdot 0 = 2 — 0 = 2;$$

Уравнение касательной:

$$y(0) = 0 \cdot (2 + 0) = 0;$$ $$y = 0 + 2(x — 0) = 2x;$$

Ответ: $y = 2x$.

$$\boxed{y = 2x}$$

Для подробного решения задачи, давайте пройдем через каждый пункт очень тщательно, с объяснениями всех шагов. Мы будем рассматривать все необходимые вычисления и выводы.

1) Кривые $y = x^4$ и $y = x^6 + 2x^2$

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых

Нам нужно найти $x$, в котором обе кривые пересекаются. То есть, приравняем правые части уравнений:

$$x^4 = x^6 + 2x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^4 — x^6 — 2x^2 = 0$$

Затем группируем:

$$x^6 — x^4 + 2x^2 = 0$$

Извлекаем общий множитель $x^2$:

$$x^2(x^4 — x^2 + 2) = 0$$

Решения этого уравнения могут быть $x = 0$ или из уравнения $x^4 — x^2 + 2 = 0$.

Для уравнения $x^4 — x^2 + 2 = 0$, подставим $y = x^2$, получим:

$$y^2 — y + 2 = 0$$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7$$

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней. Таким образом, единственное решение для $x$ — это $x = 0$.

Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных

Первая касательная (кривой $y = x^4$)

Найдем производную $y'(x) = 4x^3$. Тогда угловой коэффициент касательной в точке $x = 0$ будет:

$$k_1 = f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$$

Таким образом, угловой коэффициент первой касательной равен 0, и её уравнение будет горизонтальной прямой.

Вторая касательная (кривой $y = x^6 + 2x^2$)

Найдем производную $y'(x) = 6x^5 + 4x$. Угловой коэффициент касательной в точке $x = 0$ будет:

$$k_2 = y'(0) = 6 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0 = 0$$

Таким образом, угловой коэффициент второй касательной тоже равен 0, и её уравнение также будет горизонтальной прямой.

Шаг 3: Уравнения касательных

Так как обе касательные имеют угловой коэффициент 0, их уравнения будут вида $y = 0$.

Ответ для первой пары кривых: $y = 0$.

2) Кривые $y = x^4$ и $y = x^3 — 3x^2$

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых

Приравняем правые части:

$$x^4 = x^3 — 3x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^4 — x^3 + 3x^2 = 0$$

Извлекаем общий множитель $x^2$:

$$x^2(x^2 — x + 3) = 0$$

Решения этого уравнения могут быть $x = 0$ или из уравнения $x^2 — x + 3 = 0$.

Для уравнения $x^2 — x + 3 = 0$ находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 — 12 = -11$$

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Таким образом, единственное решение для $x$ — это $x = 0$.

Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных

Первая касательная (кривой $y = x^4$)

Производная от $y = x^4$ равна:

$$y'(x) = 4x^3$$

Угловой коэффициент касательной в точке $x = 0$:

$$k_1 = y'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$$

Вторая касательная (кривой $y = x^3 — 3x^2$)

Производная от $y = x^3 — 3x^2$ равна:

$$y'(x) = 3x^2 — 6x$$

Угловой коэффициент касательной в точке $x = 0$:

$$k_2 = y'(0) = 3 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 = 0$$

Шаг 3: Уравнения касательных

Так как обе касательные имеют угловой коэффициент 0, их уравнения будут вида $y = 0$.

Ответ для второй пары кривых: $y = 0$.

3) Кривые $y = (x + 2)^2$ и $y = 2 — x^2$

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых

Приравняем правые части:

$$(x + 2)^2 = 2 — x^2$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 4x + 4 = 2 — x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 4x + 4 + x^2 — 2 = 0$$

Собираем подобные:

$$2x^2 + 4x + 2 = 0$$

Делим на 2:

$$x^2 + 2x + 1 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$(x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$$

Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных

Первая касательная (кривой $y = (x + 2)^2$)

Производная от $y = (x + 2)^2$ равна:

$$y'(x) = 2(x + 2)$$

Угловой коэффициент касательной в точке $x = -1$:

$$k_1 = y'(-1) = 2(-1 + 2) = 2 \cdot 1 = 2$$

Вторая касательная (кривой $y = 2 — x^2$)

Производная от $y = 2 — x^2$ равна:

$$y'(x) = -2x$$

Угловой коэффициент касательной в точке $x = -1$:

$$k_2 = y'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$$

Шаг 3: Уравнение касательной

Для первой кривой в точке $x = -1$:

$$y(-1) = (-1 + 2)^2 = 1^2 = 1$$

Уравнение касательной для первой кривой:

$$y = 1 + 2(x + 1) = 1 + 2x + 2 = 2x + 3$$

Ответ для третьей пары кривых: $y = 2x + 3$.

4) Кривые $y = x(2 + x)$ и $y = x(2 — x)$

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривых

Приравняем правые части:

$$x(2 + x) = x(2 — x)$$

Раскроем скобки:

$$2x + x^2 = 2x — x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$

Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты касательных

Первая касательная (кривой $y = x(2 + x)$)

Производная от $y = x(2 + x)$ равна:

$$y'(x) = 2 + 2x$$

Угловой коэффициент касательной в точке $x = 0$:

$$k_1 = y'(0) = 2 + 2 \cdot 0 = 2$$

Вторая касательная (кривой $y = x(2 — x)$)

Производная от $y = x(2 — x)$ равна:

$$y'(x) = 2 — 2x$$

Угловой коэффициент касательной в точке $x = 0$:

$$k_2 = y'(0) = 2 — 2 \cdot 0 = 2$$

Шаг 3: Уравнение касательной

Для первой кривой в точке $x = 0$:

$$y(0) = 0 \cdot (2 + 0) = 0$$

Уравнение касательной для первой кривой:

$$y = 0 + 2(x — 0) = 2x$$

Ответ для четвертой пары кривых: $y = 2x$.

$$\boxed{y = 2x}$$