ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 862 Алимов — Подробные Ответы

Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х = 0:

1. f(x) = x+1/(x+1);
2. f(x) =sin2x-ln(x+1).

1) $f(x) = x + \frac{1}{x + 1}$ and $x_0 = 0$;

$f'(x) = (x)’ + (x + 1)^{-1} = 1 + (-1)(x + 1)^{-2} = 1 — \frac{1}{(x + 1)^2}$

$f'(0) = 1 — \frac{1}{(0 + 1)^2} = 1 — 1 = 0$;

$f(0) = 0 + \frac{1}{0 + 1} = 1$;

$y = 1 + 0(x — 0) = 1$;

Ответ: $y = 1$.

2) $f(x) = \sin(2x) — \ln(x + 1)$ and $x_0 = 0$;

$f'(x) = (\sin(2x))’ — (\ln(x + 1))’ = 2\cos(2x) — \frac{1}{x + 1}$

$f'(0) = 2 \cos(2 \cdot 0) — \frac{1}{0 + 1} = 2 \cdot 1 — 1 = 1$;

$f(0) = \sin(2 \cdot 0) — \ln(0 + 1) = \sin 0 — \ln 1 = 0 — 0 = 0$;

$y = 0 + 1(x — 0) = x$;

Ответ: $y = x$.

Задание 1:

Функция:
$f(x) = x + \frac{1}{x + 1}$ при $x_0 = 0$

Необходимо найти значение функции $y$ в точке $x_0 = 0$ и её производную.

Шаг 1: Находим производную функции

Функция $f(x)$ состоит из двух слагаемых:

• $x$
• $\frac{1}{x + 1}$

Производная функции будет найдена по правилу дифференцирования суммы.

Для нахождения производной $f(x) = x + \frac{1}{x + 1}$ используем следующие правила:

1. Производная от $x$ — это просто 1.
2. Для $\frac{1}{x + 1}$ используется правило дифференцирования дроби, которое даёт:

   $$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x + 1} \right) = — \frac{1}{(x + 1)^2}$$

Теперь находим производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = 1 — \frac{1}{(x + 1)^2}$$

Шаг 2: Вычисляем производную в точке $x_0 = 0$

Теперь подставляем $x = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = 1 — \frac{1}{(0 + 1)^2} = 1 — \frac{1}{1} = 0$$

Шаг 3: Находим значение функции в точке $x_0 = 0$

Теперь находим значение самой функции в точке $x_0 = 0$:

$$f(0) = 0 + \frac{1}{0 + 1} = 0 + 1 = 1$$

Шаг 4: Составляем уравнение касательной

Теперь составим уравнение касательной к графику функции в точке $x_0 = 0$. Для этого используется формула:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем известные значения:

• $f(0) = 1$
• $f'(0) = 0$
• $x_0 = 0$

Получаем уравнение касательной:

$$y = 1 + 0 \cdot (x — 0) = 1$$

Ответ: $y = 1$.

Задание 2:

Функция:
$f(x) = \sin(2x) — \ln(x + 1)$ при $x_0 = 0$

Необходимо найти значение функции и её производную в точке $x_0 = 0$, а затем составить уравнение касательной.

Шаг 1: Находим производную функции

Функция $f(x) = \sin(2x) — \ln(x + 1)$ состоит из двух слагаемых. Применим правила дифференцирования для каждого из них:

1. Производная от $\sin(2x)$ по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx} (\sin(2x)) = 2 \cos(2x)$$

2. Производная от $\ln(x + 1)$ по стандартному правилу для логарифмов:

   $$\frac{d}{dx} \left( \ln(x + 1) \right) = \frac{1}{x + 1}$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 2 \cos(2x) — \frac{1}{x + 1}$$

Шаг 2: Вычисляем производную в точке $x_0 = 0$

Теперь подставляем $x = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = 2 \cos(2 \cdot 0) — \frac{1}{0 + 1} = 2 \cdot 1 — 1 = 2 — 1 = 1$$

Шаг 3: Находим значение функции в точке $x_0 = 0$

Теперь находим значение самой функции в точке $x_0 = 0$:

$$f(0) = \sin(2 \cdot 0) — \ln(0 + 1) = \sin(0) — \ln(1) = 0 — 0 = 0$$

Шаг 4: Составляем уравнение касательной

Теперь составим уравнение касательной к графику функции в точке $x_0 = 0$. Используем ту же формулу:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем известные значения:

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = 1$
• $x_0 = 0$

Получаем уравнение касательной:

$$y = 0 + 1 \cdot (x — 0) = x$$

Ответ: $y = x$.

Итоговые ответы:

1. $y = 1$
2. $y = x$