ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 861 Алимов — Подробные Ответы

Функция у = f (х) задана своим графиком (рис. 118, а, б). Из точек А, В, С, D, Е, F, G выбрать те, в которых производная этой функции принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения;

в) значения, равные 0.

Производная положительна в тех точках, в которых функция возрастает, отрицательна — в тех точках, в которых функция убывает, и равна нулю в вершинах функции.

1. Рисунок 118 а):
   а) $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ в точках $A,B,E$;
   б) $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ в точках $D,G$;
   в) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ в точках $C,F$;
2. Рисунок 118 б):
   а) $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ в точках $C,G$;
   б) $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ в точках $A,E$;
   в) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ в точках $B,D,F$

Для того чтобы подробно рассмотреть и решить задачу, давайте сначала проанализируем, что означает поведение производной функции $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ на графике.

Производная функции $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ связана с наклоном касательной к графику функции. Вот ключевые моменты, которые мы должны учесть:

• Если производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ в некоторой точке, то это означает, что в этой точке касательная имеет положительный наклон, и функция возрастает в этой точке.
• Если производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$, то касательная имеет отрицательный наклон, и функция убывает в этой точке.
• Если производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, то касательная горизонтальна, и функция достигает максимума, минимума или точки перегиба в этой точке (в зависимости от характера графика).

Теперь давайте подробно рассмотрим каждый из рисунков и их анализ.

1) Рисунок 118 а)

Мы имеем график функции, на котором обозначены различные точки $A,B,C,D,E,F,G$. Для каждой из них нужно определить поведение производной.

Анализ точек:

• Точки, где $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$:
  В этих точках функция возрастает. Мы видим, что график функции на участках между точками $A$ и $B$, а также между точками $B$ и $E$ имеет восходящий характер, т.е. функция возрастает. Это и есть те области, где производная положительна. 

  Таким образом:

  • В точках $A$, $B$ и $E$ функция возрастает, и поэтому $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$.
• Точки, где $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$:
  Здесь функция убывает, и касательная имеет отрицательный наклон. Мы видим, что в области между точками $D$ и $G$ график функции идет вниз, что указывает на убывание функции. 

  Таким образом:

  • В точках $D$ и $G$ функция убывает, и поэтому $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$.
• Точки, где $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$:
  В этих точках функция может иметь экстремум или точку перегиба. Мы видим, что в точках $C$ и $F$ касательные к графику горизонтальны, что указывает на наличие максимумов, минимумов или точек перегиба. 

  Таким образом:

  • В точках $C$ и $F$ производная равна нулю, т.е. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$.

2) Рисунок 118 б)

На этом графике мы видим другую функцию с точками $A,B,C,D,E,F,G$. Анализируем, как ведет себя производная функции в этих точках.

Анализ точек:

• Точки, где $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$:
  Функция возрастает, и касательная имеет положительный наклон в точках $C$ и $G$, где график поднимается вверх. 

  Таким образом:

  • В точках $C$ и $G$ производная положительна, т.е. $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$.
• Точки, где $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$:
  Функция убывает, и касательная имеет отрицательный наклон в точках $A$ и $E$, где график идет вниз. 

  Таким образом:

  • В точках $A$ и $E$ производная отрицательна, т.е. $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$.
• Точки, где $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$:
  Здесь касательные горизонтальны, и функция может достигать экстремумов или точек перегиба. Мы видим, что в точках $B$, $D$ и $F$ касательные горизонтальны. 

  Таким образом:

  • В точках $B$, $D$ и $F$ производная равна нулю, т.е. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$.

Итоговый анализ:

1) Рисунок 118 а)

• $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ в точках $A,B,E$;
• $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ в точках $D,G$;
• $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ в точках $C,F$.

2) Рисунок 118 б)

• $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ в точках $C,G$;
• $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ в точках $A,E$;
• $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ в точках $B,D,F$.