ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 860 Алимов — Подробные Ответы

Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:

1. f(x)=x2+x+1,x0=1;
2. f(x)=x-3x,x0=2;
3. f(x)=1/x,x0=3;
4. f(x)=1/x,x0=-2;
5. f(x)=sinx,x0=пи/4;
6. f(x)=ex,x0=0;
7. f(x)=lnx,x0=1;
8. f(x)= корень x,x0=1.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$

1) $f(x) = x^2 + x + 1$ и $x_0 = 1$;

• $f'(x) = (x^2)’ + (x + 1)’ = 2x + 1$;
• $f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$;
• $f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 1 + 2 = 3$;
• $y = 3 + 3(x — 1) = 3 + 3x — 3 = 3x$;

Ответ: $y = 3x$.

2) $f(x) = x — 3x^2$ и $x_0 = 2$;

• $f'(x) = (x)’ — 3 \cdot (x^2)’ = 1 — 3 \cdot 2x = 1 — 6x$;
• $f'(2) = 1 — 6 \cdot 2 = 1 — 12 = -11$;
• $f(2) = 2 — 3 \cdot 2^2 = 2 — 3 \cdot 4 = 2 — 12 = -10$;
• $y = -10 — 11(x — 2) = -10 — 11x + 22 = 12 — 11x$;

Ответ: $y = 12 — 11x$.

3) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 3$;

• $f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$;
• $f'(3) = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$;
• $f(3) = \frac{1}{3}$;
• $y = \frac{1}{3} — \frac{1}{9}(x — 3) = \frac{1}{3} — \frac{1}{9}x + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} — \frac{1}{9}x$;

Ответ: $y = \frac{2}{3} — \frac{1}{9}x$.

4) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -2$;

• $f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$;
• $f'(-2) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4}$;
• $f(-2) = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$;
• $y = -\frac{1}{2} — \frac{1}{4}(x + 2) = -\frac{1}{2} — \frac{1}{4}x — \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x — 1$;

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x — 1$.

5) $f(x) = \sin x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

• $f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
• $f’\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
• $f\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
• $y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi \sqrt{2}}{8}$;

Ответ: $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi \sqrt{2}}{8}$.

6) $f(x) = e^x$ и $x_0 = 0$;

• $f'(x) = (e^x)’ = e^x$;
• $f'(0) = e^0 = 1$;
• $f(0) = e^0 = 1$;
• $y = 1 + 1(x — 0) = 1 + x$;

Ответ: $y = x + 1$.

7) $f(x) = \ln x$ и $x_0 = 1$;

• $f'(x) = (\ln x)’ = \frac{1}{x}$;
• $f'(1) = \frac{1}{1} = 1$;
• $f(1) = \ln 1 = 0$;
• $y = 0 + 1(x — 1) = x — 1$;

Ответ: $y = x — 1$.

8) $f(x) = \sqrt{x}$ и $x_0 = 1$;

• $f'(x) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;
• $f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$;
• $f(1) = \sqrt{1} = 1$;
• $y = 1 + \frac{1}{2}(x — 1) = 1 + \frac{1}{2}x — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$;

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Задача: Найти уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Уравнение касательной к функции в точке $x_0$ определяется по формуле:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

где:

• $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$,
• $f'(x_0)$ — производная функции в точке $x_0$,
• $(x — x_0)$ — отклонение от точки $x_0$, по которой строится касательная.

Теперь давайте решим задачи, подробно объяснив каждый шаг.

1) $f(x) = x^2 + x + 1$ и $x_0 = 1$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Функция $f(x) = x^2 + x + 1$. Нам нужно найти её производную $f'(x)$.

Применяем стандартные правила дифференцирования:

• Производная $(x^2)’ = 2x$,
• Производная $(x)’ = 1$,
• Производная $(1) = 0$.

Таким образом, производная $f'(x)$ будет:

$$f'(x) = 2x + 1$$

Шаг 2: Нахождение значения производной в точке $x_0 = 1$

Теперь подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$$

Шаг 3: Нахождение значения функции в точке $x_0 = 1$

Теперь подставим $x_0 = 1$ в исходную функцию $f(x)$:

$$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$$

Шаг 4: Запись уравнения касательной

Теперь, используя формулу для уравнения касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем найденные значения:

$$y = 3 + 3(x — 1)$$

Упростим:

$$y = 3 + 3x — 3 = 3x$$

Ответ: $y = 3x$.

2) $f(x) = x — 3x^2$ и $x_0 = 2$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Для функции $f(x) = x — 3x^2$ применим правила дифференцирования:

• Производная $(x)’ = 1$,
• Производная $(-3x^2)’ = -6x$.

Таким образом, производная $f'(x)$ будет:

$$f'(x) = 1 — 6x$$

Шаг 2: Нахождение значения производной в точке $x_0 = 2$

Теперь подставим $x_0 = 2$ в выражение для производной:

$$f'(2) = 1 — 6 \cdot 2 = -11$$

Шаг 3: Нахождение значения функции в точке $x_0 = 2$

Подставляем $x_0 = 2$ в исходную функцию $f(x)$:

$$f(2) = 2 — 3 \cdot 2^2 = 2 — 12 = -10$$

Шаг 4: Запись уравнения касательной

Теперь, используя формулу для уравнения касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем найденные значения:

$$y = -10 — 11(x — 2)$$

Упростим:

$$y = -10 — 11x + 22 = 12 — 11x$$

Ответ: $y = 12 — 11x$.

3) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 3$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ применяем правило дифференцирования дробей:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Нахождение значения производной в точке $x_0 = 3$

Теперь подставим $x_0 = 3$ в выражение для производной:

$$f'(3) = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$$

Шаг 3: Нахождение значения функции в точке $x_0 = 3$

Подставляем $x_0 = 3$ в исходную функцию $f(x)$:

$$f(3) = \frac{1}{3}$$

Шаг 4: Запись уравнения касательной

Теперь, используя формулу для уравнения касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем найденные значения:

$$y = \frac{1}{3} — \frac{1}{9}(x — 3)$$

Упростим:

$$y = \frac{1}{3} — \frac{1}{9}x + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} — \frac{1}{9}x$$

Ответ: $y = \frac{2}{3} — \frac{1}{9}x$.

4) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -2$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ производная будет:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Нахождение значения производной в точке $x_0 = -2$

Теперь подставим $x_0 = -2$ в выражение для производной:

$$f'(-2) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4}$$

Шаг 3: Нахождение значения функции в точке $x_0 = -2$

Подставляем $x_0 = -2$ в исходную функцию $f(x)$:

$$f(-2) = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 4: Запись уравнения касательной

Теперь, используя формулу для уравнения касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем найденные значения:

$$y = -\frac{1}{2} — \frac{1}{4}(x + 2)$$

Упростим:

$$y = -\frac{1}{2} — \frac{1}{4}x — \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x — 1$$

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x — 1$.

5) $f(x) = \sin x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Для функции $f(x) = \sin x$ её производная:

$$f'(x) = \cos x$$

Шаг 2: Нахождение значения производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Теперь подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:

$$f’\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Нахождение значения функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Подставляем $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в исходную функцию $f(x)$:

$$f\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Запись уравнения касательной

Теперь, используя формулу для уравнения касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем найденные значения:

$$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\left(x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Упростим:

$$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi \sqrt{2}}{8}$$

Ответ: $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\pi \sqrt{2}}{8}$.

6) $f(x) = e^x$ и $x_0 = 0$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Для функции $f(x) = e^x$ её производная по $x$:

$$f'(x) = e^x$$

Шаг 2: Нахождение значения производной в точке $x_0 = 0$

Теперь подставим $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = e^0 = 1$$

Шаг 3: Нахождение значения функции в точке $x_0 = 0$

Подставляем $x_0 = 0$ в исходную функцию $f(x)$:

$$f(0) = e^0 = 1$$

Шаг 4: Запись уравнения касательной

Теперь, используя формулу для уравнения касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем найденные значения:

$$y = 1 + 1(x — 0) = 1 + x$$

Ответ: $y = x + 1$.

7) $f(x) = \ln x$ и $x_0 = 1$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Для функции $f(x) = \ln x$ её производная по $x$ будет:

$$f'(x) = \frac{1}{x}$$

Шаг 2: Нахождение значения производной в точке $x_0 = 1$

Теперь подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$$

Шаг 3: Нахождение значения функции в точке $x_0 = 1$

Подставляем $x_0 = 1$ в исходную функцию $f(x)$:

$$f(1) = \ln 1 = 0$$

Шаг 4: Запись уравнения касательной

Теперь, используя формулу для уравнения касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем найденные значения:

$$y = 0 + 1(x — 1) = x — 1$$

Ответ: $y = x — 1$.

8) $f(x) = \sqrt{x}$ и $x_0 = 1$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$

Для функции $f(x) = \sqrt{x}$ её производная по $x$ будет:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Нахождение значения производной в точке $x_0 = 1$

Теперь подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Нахождение значения функции в точке $x_0 = 1$

Подставляем $x_0 = 1$ в исходную функцию $f(x)$:

$$f(1) = \sqrt{1} = 1$$

Шаг 4: Запись уравнения касательной

Теперь, используя формулу для уравнения касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем найденные значения:

$$y = 1 + \frac{1}{2}(x — 1)$$

Упростим:

$$y = 1 + \frac{1}{2}x — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.