ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 86 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 3 степени 10 и корень 5 степени 20;
2. корень 4 степени 5 и корень 3 степени 7;
3. корень 17 и корень 3 степени 28;
4. корень 4 степени 13 и корень 5 степени 23.

Сравнить числа:

1)

$$\sqrt[3]{10} \text{ и } \sqrt[5]{20};$$

$$\sqrt[3]{10} = \sqrt[3 \cdot 5]{10^5} = \sqrt[15]{100000};$$

$$\sqrt[5]{20} = \sqrt[5 \cdot 3]{20^3} = \sqrt[15]{8000};$$

$$100000 > 8000;$$

$$\sqrt[15]{100000} > \sqrt[15]{8000};$$

Ответ:

$\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}$

.

2)

$$\sqrt[4]{5} \text{ и } \sqrt[3]{7};$$

$$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125};$$

$$\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 4]{7^4} = \sqrt[12]{2401};$$

$$125 < 2401;$$

$$\sqrt[12]{125} < \sqrt[12]{2401};$$

Ответ:

$\sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{7}$

.

3)

$$\sqrt{17} \text{ и } \sqrt[3]{28};$$

$$\sqrt{17} = \sqrt[2^3]{17^3} = \sqrt[6]{4913};$$

$$\sqrt[3]{28} = \sqrt[3^2]{28^2} = \sqrt[6]{784};$$

$$4913 > 784;$$

$$\sqrt[6]{4913} > \sqrt[6]{784};$$

Ответ:

$\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}$

.

4)

$$\sqrt[3]{13} \text{ и } \sqrt[5]{23};$$

$$\sqrt[3]{13} = \sqrt[3 \cdot 5]{13^5} = \sqrt[15]{371293};$$

$$\sqrt[5]{23} = \sqrt[5 \cdot 3]{23^3} = \sqrt[15]{12167};$$

$$371293 > 12167;$$

$$\sqrt[15]{371293} > \sqrt[15]{12167};$$

Ответ:

$\sqrt[3]{13} > \sqrt[5]{23}$

.

1) Сравнение чисел:

$$\sqrt[3]{10} \text{ и } \sqrt[5]{20}.$$

Для того чтобы сравнить эти два числа, используем общую степень, сделав показатели одинаковыми.

• Для начала выразим
  $\sqrt[3]{10}$ 

  и $\sqrt[5]{20}$ 

  через одинаковую степень. Обозначим это с использованием общих корней.

$$\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}, \quad \sqrt[5]{20} = 20^{\frac{1}{5}}.$$

Теперь давайте приведем обе величины к 15-й степени, чтобы сравнить их более удобно:

• 
  $\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$ 

  . Мы можем выразить это как:

$$\sqrt[3]{10} = \sqrt[3 \cdot 5]{10^5} = \sqrt[15]{100000}.$$

• 
  $\sqrt[5]{20} = 20^{\frac{1}{5}}$ 

  . Аналогично, выражаем это через 15-й корень:

$$\sqrt[5]{20} = \sqrt[5 \cdot 3]{20^3} = \sqrt[15]{8000}.$$

Теперь, когда обе величины выражены через 15-й корень, можем сравнить их подкоренные числа:

• 
  $100000 > 8000$ 

  , следовательно:

$$\sqrt[15]{100000} > \sqrt[15]{8000}.$$

Ответ:

$\sqrt[3]{10} > \sqrt[5]{20}$

.

2) Сравнение чисел:

$$\sqrt[4]{5} \text{ и } \sqrt[3]{7}.$$

Точно так же, как и в первом пункте, для удобства выразим обе величины через одинаковые корни.

• 
  $\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}$ 

  и $\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$ 

  .

Переведем обе величины в 12-й корень:

• 
  $\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$ 

  .

• 
  $\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 4]{7^4} = \sqrt[12]{2401}$ 

  .

Теперь, сравнив подкоренные числа:

• 
  $125 < 2401$ 

  , следовательно:

$$\sqrt[12]{125} < \sqrt[12]{2401}.$$

Ответ:

$\sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{7}$

.

3) Сравнение чисел:

$$\sqrt{17} \text{ и } \sqrt[3]{28}.$$

Для того чтобы сравнить эти два числа, приведем их к одинаковым степеням. Используем подход, при котором мы выражаем обе величины через одинаковые корни с одинаковыми показателями.

Шаг 1. Приводим

$\sqrt{17}$

и

$\sqrt[3]{28}$

к общим степеням.

• 
  $\sqrt{17} = 17^{\frac{1}{2}}$ 

  .

• 
  $\sqrt[3]{28} = 28^{\frac{1}{3}}$ 

  .

Чтобы сравнить эти числа, нам нужно привести их к одной степени. Для этого возьмем шестой корень, поскольку наименьшее общее кратное 2 и 3 равно 6.

Шаг 2. Выражаем каждое число через 6-й корень.

• 
  $\sqrt{17} = 17^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2 \cdot 3]{17^3} = \sqrt[6]{4913}$ 

  .

• 
  $\sqrt[3]{28} = 28^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{28^2} = \sqrt[6]{784}$ 

  .

Теперь обе величины выражены через 6-й корень, и можно сравнить их подкоренные числа.

Шаг 3. Сравниваем подкоренные числа.

• 
  $4913 > 784$ 

  , следовательно:

$$\sqrt[6]{4913} > \sqrt[6]{784}.$$

Ответ:

$\sqrt{17} > \sqrt[3]{28}$

.

4) Сравнение чисел:

$$\sqrt[3]{13} \text{ и } \sqrt[5]{23}.$$

Аналогично предыдущему пункту, приведем оба числа к одинаковой степени.

Шаг 1. Приводим

$\sqrt[3]{13}$

и

$\sqrt[5]{23}$

к общим степеням.

• 
  $\sqrt[3]{13} = 13^{\frac{1}{3}}$ 

  .

• 
  $\sqrt[5]{23} = 23^{\frac{1}{5}}$ 

  .

Чтобы сравнить эти два числа, возьмем наименьшее общее кратное для 3 и 5, которое равно 15.

Шаг 2. Выражаем каждое число через 15-й корень.

• 
  $\sqrt[3]{13} = 13^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3 \cdot 5]{13^5} = \sqrt[15]{371293}$ 

  .

• 
  $\sqrt[5]{23} = 23^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5 \cdot 3]{23^3} = \sqrt[15]{12167}$ 

  .

Теперь обе величины выражены через 15-й корень, и можно сравнить их подкоренные числа.

Шаг 3. Сравниваем подкоренные числа.

• 
  $371293 > 12167$ 

  , следовательно:

$$\sqrt[15]{371293} > \sqrt[15]{12167}.$$

Ответ:

$\sqrt[3]{13} > \sqrt[5]{23}$

.