ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 858 Алимов — Подробные Ответы

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:

1. f(x) =x3, x0=1;
2. f(x) = sinx, x0=пи/4;
3. f(x) = lnx, x0=1;
4. f(x) = ex, x0=ln3.

1. $f(x) = x^3$ и $x_0 = 1$;
   $f'(x) = (x^3)’ = 3x^2$;
   $k = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$;
   Ответ: $k = 3$.
2. $f(x) = \sin x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;
   $f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
   $k = f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
   Ответ: $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. $f(x) = \ln x$ и $x_0 = 1$;
   $f'(x) = (\ln x)’ = \frac{1}{x}$;
   $k = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$;
   Ответ: $k = 1$.
4. $f(x) = e^x$ и $x_0 = \ln 3$;
   $f'(x) = (e^x)’ = e^x$;
   $k = f'(\ln 3) = e^{\ln 3} = 3$;
   Ответ: $k = 3$.

1) $f(x) = x^3$ и $x_0 = 1$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = x^3$

Для нахождения производной функции $f(x) = x^3$ используем стандартное правило дифференцирования степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$$

Применяя это правило, мы получаем:

$$f'(x) = 3x^2$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = 1$ в производную

Теперь нам нужно найти значение производной $f'(x)$ в точке $x_0 = 1$. Подставляем $x = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$$

Ответ:

$$k = 3$$

2) $f(x) = \sin x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = \sin x$

Для нахождения производной функции $f(x) = \sin x$ используем стандартное правило дифференцирования синуса:

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Таким образом, производная функции $f(x) = \sin x$ равна:

$$f'(x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в производную

Теперь нужно найти значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4}$$

Мы знаем, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому:

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$k = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

3) $f(x) = \ln x$ и $x_0 = 1$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = \ln x$

Для нахождения производной функции $f(x) = \ln x$ используем стандартное правило дифференцирования натурального логарифма:

$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$$

Таким образом, производная функции $f(x) = \ln x$ равна:

$$f'(x) = \frac{1}{x}$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = 1$ в производную

Теперь нужно найти значение производной в точке $x_0 = 1$. Подставляем $x = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ:

$$k = 1$$

4) $f(x) = e^x$ и $x_0 = \ln 3$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = e^x$

Для нахождения производной функции $f(x) = e^x$ используем стандартное правило дифференцирования экспоненциальной функции:

$$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$

Таким образом, производная функции $f(x) = e^x$ равна:

$$f'(x) = e^x$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = \ln 3$ в производную

Теперь нужно найти значение производной в точке $x_0 = \ln 3$. Подставляем $x = \ln 3$ в выражение для производной:

$$f'(\ln 3) = e^{\ln 3}$$

Используем свойство логарифма, что $e^{\ln a} = a$, чтобы упростить:

$$f'(\ln 3) = 3$$

Ответ:

$$k = 3$$$k = 3$