ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 856 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции ln (х2 — 5х + 6) при х < 2 и при х > 3.

$$f(x) = \ln(x^2 — 5x + 6);$$

Пусть $u = x^2 — 5x + 6$, тогда $f(u) = \ln(u)$;

$$f'(x) = (x^2 — 5x + 6)’ \cdot \ln(u);$$ $$f'(x) = (2x — 5) \cdot \frac{1}{u};$$ $$f'(x) = \frac{2x — 5}{x^2 — 5x + 6};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 5x + 6 > 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \text{ и } x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$ $$(x — 2)(x — 3) > 0;$$ $$x < 2 \text{ или } x > 3;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2x — 5}{x^2 — 5x + 6}}.$$

Дано выражение для функции $f(x) = \ln(x^2 — 5x + 6)$. Требуется найти её производную, а также определить область определения этой функции.

Шаг 1: Применяем правило цепочки для дифференцирования сложной функции

Мы имеем функцию вида $f(x) = \ln(g(x))$, где $g(x) = x^2 — 5x + 6$. Для дифференцирования такой функции используем правило цепочки. Это правило гласит, что если функция $f(x)$ представляет собой композицию двух функций, например, $f(x) = \ln(g(x))$, то её производная выражается как произведение производной внешней функции и производной внутренней функции.

Производная от $\ln(u)$, где $u$ — это функция от $x$, равна:

$$\frac{d}{dx}[\ln(u)] = \frac{1}{u} \cdot u'(x)$$

Таким образом, если $f(x) = \ln(g(x))$, то производная будет:

$$f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

В нашем случае:

• $g(x) = x^2 — 5x + 6$
• $g'(x) = (x^2 — 5x + 6)’$

Мы начинаем с того, что вычисляем производную $g(x)$.

Шаг 2: Находим производную функции $g(x) = x^2 — 5x + 6$

Вычислим производную полинома $g(x) = x^2 — 5x + 6$:

$$g'(x) = (x^2)’ — (5x)’ + (6)’$$

Производные каждого члена:

• Производная от $x^2$ равна $2x$.
• Производная от $-5x$ равна $-5$.
• Производная от константы $6$ равна $0$.

Итак, производная $g(x)$ будет:

$$g'(x) = 2x — 5$$

Теперь мы можем записать производную $f(x)$, используя правило цепочки.

Шаг 3: Находим производную функции $f(x) = \ln(x^2 — 5x + 6)$

Используем правило цепочки:

$$f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{2x — 5}{x^2 — 5x + 6}$$

Это и есть производная функции $f(x)$.

Шаг 4: Находим область определения функции $f(x)$

Теперь нам нужно определить область определения функции $f(x)$. Для этого рассмотрим выражение, которое стоит под логарифмом, и выясним, при каких значениях $x$ оно больше нуля, так как логарифм определён только для положительных чисел.

Под логарифмом у нас стоит выражение $x^2 — 5x + 6$. Мы должны решить неравенство:

$$x^2 — 5x + 6 > 0$$

Решим это неравенство.

Шаг 5: Решаем неравенство $x^2 — 5x + 6 > 0$

Для того чтобы решить неравенство $x^2 — 5x + 6 > 0$, начнём с нахождения корней квадратного уравнения $x^2 — 5x + 6 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае:

$$a = 1, \quad b = -5, \quad c = 6$$

Тогда дискриминант будет:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b$ и $D$:

$$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Таким образом, корни уравнения $x^2 — 5x + 6 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Теперь решим неравенство $x^2 — 5x + 6 > 0$. Это квадратное неравенство разлагается как:

$$(x — 2)(x — 3) > 0$$

Решение этого неравенства: произведение двух выражений будет положительным, если оба множителя либо положительные, либо оба отрицательные. Поэтому решаем два случая:

1. $x — 2 > 0$ и $x — 3 > 0$, что даёт $x > 3$.
2. $x — 2 < 0$ и $x — 3 < 0$, что даёт $x < 2$.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < 2$ или $x > 3$.

Шаг 6: Ответ

Область определения функции $f(x)$ — это $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.

Итак, окончательная форма производной функции:

$$f'(x) = \frac{2x — 5}{x^2 — 5x + 6}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2x — 5}{x^2 — 5x + 6}}$$

Область определения функции $f(x)$: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.