ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 855 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:

1. f (х) = х — ln х;
2. f (х) = х ln х;
3. f (х) = х2 ln х;
4. f (х) = х3 — 3 ln х.

Все представленные выражения определены при $x > 0$.

1) $f(x) = x — \ln x$

$$f'(x) = (x)’ — (\ln x)’ = 1 — \frac{1}{x};$$

Производная равна нулю при:

$$1 — \frac{1}{x} = 0;$$ $$x — 1 = 0, \text{ отсюда } x = 1;$$

Производная положительна при:

$$1 — \frac{1}{x} > 0;$$ $$x^2 — x > 0;$$ $$x(x — 1) > 0;$$ $$x < 0 \text{ или } x > 1;$$

Производная отрицательна при:

$$x(x — 1) < 0;$$ $$0 < x < 1;$$

Ответ: $1; \ x \in (1; +\infty); \ x \in (0; 1)$.

2) $f(x) = x \cdot \ln x$

$$f'(x) = (x)’ \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)’ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1;$$

Производная равна нулю при:

$$\ln x + 1 = 0;$$ $$\ln x = -1;$$ $$\ln x = \ln e^{-1}, \text{ отсюда } x = e^{-1};$$

Производная положительна при:

$$\ln x + 1 > 0;$$ $$\ln x > -1, \text{ отсюда } x > e^{-1}$$

Производная отрицательна при:

$$\ln x + 1 < 0;$$ $$\ln x < -1, \text{ отсюда } x < e^{-1};$$

Ответ: $e^{-1}; \ x \in (e^{-1}; +\infty); \ x \in (0; e^{-1})$.

3) $f(x) = x^2 \cdot \ln x$

$$f'(x) = (x^2)’ \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)’ = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x \cdot (2 \ln x + 1);$$

Производная равна нулю при:

$$x \cdot (2 \ln x + 1) = 0;$$ $$2 \ln x + 1 = 0;$$ $$2 \ln x = -1;$$ $$\ln x = -\frac{1}{2};$$ $$\ln x = \ln e^{-\frac{1}{2}}, \text{ отсюда } x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}};$$

Производная положительна при:

$$x \cdot (2 \ln x + 1) > 0;$$ $$x < 0 \text{ или } x > \frac{1}{\sqrt{e}};$$

Производная отрицательна при:

$$x \cdot (2 \ln x + 1) < 0;$$ $$0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}};$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{e}}; \ x \in \left( \frac{1}{\sqrt{e}}; +\infty \right); \ x \in \left( 0; \frac{1}{\sqrt{e}} \right)$.

4) $f(x) = x^3 — 3 \ln x$

$$f'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (\ln x)’ = 3x^2 — 3 \cdot \frac{1}{x} = 3 \left( x^2 — \frac{1}{x} \right);$$

Производная равна нулю при:

$$x^2 — \frac{1}{x} = 0;$$ $$x^3 — 1 = 0;$$ $$x^3 = 1, \text{ отсюда } x = 1;$$

Производная положительна при:

$$x^2 — \frac{1}{x} > 0;$$ $$x^4 — x > 0;$$ $$x \cdot (x^3 — 1) > 0;$$ $$x < 0 \text{ или } x > 1;$$

Производная отрицательна при:

$$x \cdot (x^3 — 1) < 0;$$ $$0 < x < 1;$$

Ответ: $1; \ x \in (1; +\infty); \ x \in (0; 1)$.

1) $f(x) = x — \ln x$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для функции $f(x) = x — \ln x$ найдём её производную $f'(x)$.

Производная от $x$ равна 1:

$$\frac{d}{dx}(x) = 1$$

Производная от $\ln x$ равна $\frac{1}{x}$:

$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$$

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 1 — \frac{1}{x}$$

Шаг 2: Анализ значений производной

Когда производная равна нулю?

Для того чтобы найти, где производная равна нулю, приравняем $f'(x)$ к нулю:

$$1 — \frac{1}{x} = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{1}{x} = 1$$ $$x = 1$$

Таким образом, производная равна нулю при $x = 1$.

Когда производная положительна?

Теперь рассмотрим, при каких значениях $x$ производная положительна. Для этого решим неравенство:

$$1 — \frac{1}{x} > 0$$ $$\frac{1}{x} < 1$$ $$x > 1$$

Итак, производная положительна при $x > 1$.

Когда производная отрицательна?

Теперь рассмотрим, при каких значениях $x$ производная отрицательна. Для этого решим неравенство:

$$1 — \frac{1}{x} < 0$$ $$\frac{1}{x} > 1$$ $$x < 1$$

Таким образом, производная отрицательна при $x < 1$.

Шаг 3: Ответ

• Производная равна нулю при $x = 1$.
• Производная положительна при $x \in (1; +\infty)$.
• Производная отрицательна при $x \in (0; 1)$.

Ответ: $1; \ x \in (1; +\infty); \ x \in (0; 1)$.

2) $f(x) = x \ln x$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для функции $f(x) = x \ln x$ применим правило дифференцирования произведения. Напоминаем, что производная произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ вычисляется по формуле:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Здесь:

• $u(x) = x$
• $v(x) = \ln x$

$$Производная $u(x) = x$ равна:

$$u'(x) = 1$$

Производная $v(x) = \ln x$ равна:

$$v'(x) = \frac{1}{x}$$

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

Шаг 2: Анализ значений производной

Когда производная равна нулю?

Приравниваем производную к нулю:

$$\ln x + 1 = 0$$ $$\ln x = -1$$

Решаем это уравнение:

$$x = e^{-1}$$

Таким образом, производная равна нулю при $x = e^{-1}$.

Когда производная положительна?

Решаем неравенство для положительности производной:

$$\ln x + 1 > 0$$ $$\ln x > -1$$ $$x > e^{-1}$$

Таким образом, производная положительна при $x > e^{-1}$.

Когда производная отрицательна?

Решаем неравенство для отрицательности производной:

$$\ln x + 1 < 0$$ $$\ln x < -1$$ $$x < e^{-1}$$

Таким образом, производная отрицательна при $x < e^{-1}$.

Шаг 3: Ответ

• Производная равна нулю при $x = e^{-1}$.
• Производная положительна при $x \in (e^{-1}; +\infty)$.
• Производная отрицательна при $x \in (0; e^{-1})$.

Ответ: $e^{-1}; \ x \in (e^{-1}; +\infty); \ x \in (0; e^{-1})$.

3) $f(x) = x^2 \ln x$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для функции $f(x) = x^2 \ln x$ также применим правило дифференцирования произведения:

$$f'(x) = (x^2)’ \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)’ = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2 \ln x + 1)$$

Шаг 2: Анализ значений производной

Когда производная равна нулю?

Приравниваем производную к нулю:

$$x(2 \ln x + 1) = 0$$

Решаем это уравнение:

1. $x = 0$ — это решение невозможно, так как $x > 0$.
2. $2 \ln x + 1 = 0$

Решаем $2 \ln x = -1$:

$$\ln x = -\frac{1}{2}$$ $$x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$$

Таким образом, производная равна нулю при $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$.

Когда производная положительна?

Решаем неравенство для положительности производной:

$$x(2 \ln x + 1) > 0$$

Так как $x > 0$, остаётся неравенство:

$$2 \ln x + 1 > 0$$ $$\ln x > -\frac{1}{2}$$ $$x > \frac{1}{\sqrt{e}}$$

Таким образом, производная положительна при $x > \frac{1}{\sqrt{e}}$.

Когда производная отрицательна?

Решаем неравенство для отрицательности производной:

$$x(2 \ln x + 1) < 0$$

Так как $x > 0$, остаётся неравенство:

$$2 \ln x + 1 < 0$$ $$\ln x < -\frac{1}{2}$$ $$x < \frac{1}{\sqrt{e}}$$

Таким образом, производная отрицательна при $x < \frac{1}{\sqrt{e}}$.

Шаг 3: Ответ

• Производная равна нулю при $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
• Производная положительна при $x \in \left( \frac{1}{\sqrt{e}}; +\infty \right)$.
• Производная отрицательна при $x \in \left( 0; \frac{1}{\sqrt{e}} \right)$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{e}}; \ x \in \left( \frac{1}{\sqrt{e}}; +\infty \right); \ x \in \left( 0; \frac{1}{\sqrt{e}} \right)$.

4) $f(x) = x^3 — 3 \ln x$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для функции $f(x) = x^3 — 3 \ln x$ найдём её производную:

$$f'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (\ln x)’ = 3x^2 — 3 \cdot \frac{1}{x} = 3 \left( x^2 — \frac{1}{x} \right)$$

Шаг 2: Анализ значений производной

Когда производная равна нулю?

Приравниваем производную к нулю:

$$3 \left( x^2 — \frac{1}{x} \right) = 0$$ $$x^2 — \frac{1}{x} = 0$$

Умножим на $x$:

$$x^3 — 1 = 0$$ $$x^3 = 1$$ $$x = 1$$

Таким образом, производная равна нулю при $x = 1$.

Когда производная положительна?

Решаем неравенство для положительности производной:

$$3 \left( x^2 — \frac{1}{x} \right) > 0$$ $$x^3 — 1 > 0$$ $$x > 1$$

Таким образом, производная положительна при $x > 1$.

Когда производная отрицательна?

Решаем неравенство для отрицательности производной:

$$3 \left( x^2 — \frac{1}{x} \right) < 0$$ $$x^3 — 1 < 0$$ $$x < 1$$

Таким образом, производная отрицательна при $x < 1$.

Шаг 3: Ответ

• Производная равна нулю при $x = 1$.
• Производная положительна при $x \in (1; +\infty)$.
• Производная отрицательна при $x \in (0; 1)$.

Ответ: $1; \ x \in (1; +\infty); \ x \in (0; 1)$.