ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 853 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения производной функции f (х) в точках, в которых значение этой функции равно 0:

1. f(x) =e2xln(2x-1);
2. f(x) = (sinx-cosx)/sinx.

1) $f(x) = e^{2x} \cdot \ln(2x — 1)$;

$f'(x) = (e^{2x})’ \cdot \ln(2x — 1) + e^{2x} \cdot (\ln(2x — 1))’$;

$f'(x) = 2e^{2x} \cdot \ln(2x — 1) + e^{2x} \cdot \frac{2}{2x — 1}$;

$f'(x) = 2e^{2x} \cdot \left( \ln(2x — 1) + \frac{1}{2x — 1} \right)$;

Значение функции равно нулю при:

$e^{2x} \cdot \ln(2x — 1) = 0$;

$\ln(2x — 1) = 0$;

$\ln(2x — 1) = \ln 1$;

$2x — 1 = 1$;

$2x = 2$, отсюда $x = 1$;

Значение производной:

$f'(1) = 2e^2 \cdot \left( \ln(2 — 1) + \frac{1}{2 — 1} \right) = 2e^2 \cdot (\ln 1 + 1) = 2e^2$;

Ответ: $2e^2$.

2) $f(x) = \frac{\sin x — \cos x}{\sin x}$;

$f'(x) = \frac{(\sin x — \cos x)’ \cdot \sin x — (\sin x — \cos x) \cdot (\sin x)’}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x) \cdot \sin x — (\sin x — \cos x) \cdot \cos x}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = \frac{\cos x \cdot \sin x + \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$;

Значение функции равно нулю при:

$\frac{\sin x — \cos x}{\sin x} = 0$;

$1 — \operatorname{ctg} x = 0$;

$\operatorname{ctg} x = 1$;

$x = \operatorname{arcctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Значение производной:

$f’\left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{1}{\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right)} = \frac{1}{\left( \sin \frac{\pi}{4} \right)^2} = 1 : \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 1 : \frac{1}{2} = 2$;

Ответ: $2$.

1) $f(x) = e^{2x} \cdot \ln(2x — 1)$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Нам нужно найти производную функции $f(x) = e^{2x} \cdot \ln(2x — 1)$ с использованием правила дифференцирования произведения. Правило гласит, что производная произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ вычисляется по формуле:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

В данном случае:

• $u(x) = e^{2x}$
• $v(x) = \ln(2x — 1)$

Найдем производные этих функций:

Производная $u(x) = e^{2x}$:

$$u'(x) = (e^{2x})’ = 2e^{2x}$$

Производная $v(x) = \ln(2x — 1)$:

Для нахождения производной логарифмической функции используем правило дифференцирования сложной функции, которое гласит:

$$(\ln f(x))’ = \frac{f'(x)}{f(x)}$$

В данном случае $f(x) = 2x — 1$, и производная $f'(x) = 2$. Поэтому:

$$v'(x) = \frac{2}{2x — 1}$$

Теперь применяем правило дифференцирования произведения:

$$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

Подставляем полученные производные:

$$f'(x) = 2e^{2x} \cdot \ln(2x — 1) + e^{2x} \cdot \frac{2}{2x — 1}$$

Выносим $e^{2x}$ за скобки:

$$f'(x) = e^{2x} \left( 2\ln(2x — 1) + \frac{2}{2x — 1} \right)$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = e^{2x} \left( 2\ln(2x — 1) + \frac{2}{2x — 1} \right)$$

Шаг 2: Нахождение значения функции при $f(x) = 0$

Для того чтобы найти значение $x$, при котором функция равна нулю, приравниваем $f(x) = 0$:

$$e^{2x} \cdot \ln(2x — 1) = 0$$

Так как $e^{2x}$ никогда не равно нулю (экспоненциальная функция всегда положительна), то необходимо, чтобы $\ln(2x — 1) = 0$. Это условие выполняется, когда:

$$\ln(2x — 1) = \ln 1$$

Следовательно,:

$$2x — 1 = 1$$

Решаем это уравнение:

$$2x = 2$$ $$x = 1$$

Таким образом, значение функции равно нулю при $x = 1$.

Шаг 3: Нахождение значения производной при $x = 1$

Теперь найдем значение производной функции в точке $x = 1$. Подставляем $x = 1$ в выражение для $f'(x)$:

$$f'(x) = e^{2x} \left( 2\ln(2x — 1) + \frac{2}{2x — 1} \right)$$

При $x = 1$:

$$f'(1) = e^{2 \cdot 1} \left( 2\ln(2 \cdot 1 — 1) + \frac{2}{2 \cdot 1 — 1} \right)$$ $$f'(1) = e^{2} \left( 2\ln(1) + \frac{2}{1} \right)$$

Поскольку $\ln(1) = 0$, то:

$$f'(1) = e^2 \left( 2 \cdot 0 + 2 \right) = e^2 \cdot 2 = 2e^2$$

Ответ: $2e^2$.

2) $f(x) = \frac{\sin x — \cos x}{\sin x}$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{\sin x — \cos x}{\sin x}$, будем использовать правило дифференцирования частного:

$$\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)’ = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

Здесь:

• $u(x) = \sin x — \cos x$
• $v(x) = \sin x$

Найдем производные этих функций:

Производная $u(x) = \sin x — \cos x$:

$$u'(x) = \cos x + \sin x$$

Производная $v(x) = \sin x$:

$$v'(x) = \cos x$$

Теперь подставляем в формулу для производной частного:

$$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x) \cdot \sin x — (\sin x — \cos x) \cdot \cos x}{\sin^2 x}$$

Раскрываем скобки в числителе:

$$f'(x) = \frac{\cos x \cdot \sin x + \sin^2 x — \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x}$$

Складываем подобные слагаемые:

$$f'(x) = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}$$

Поскольку $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, то:

$$f'(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$$

Шаг 2: Нахождение значения функции при $f(x) = 0$

Теперь найдем $x$, при котором функция $f(x) = 0$:

$$\frac{\sin x — \cos x}{\sin x} = 0$$

Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, то есть:

$$\sin x — \cos x = 0$$

Решаем это уравнение:

$$\sin x = \cos x$$

Это выполняется при:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Таким образом, значение функции равно нулю при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Шаг 3: Нахождение значения производной при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Теперь находим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Подставляем это значение в выражение для $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$$

При $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, поскольку $\sin\left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, имеем:

$$f’\left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

Ответ: $2$.$2$