ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 851 Алимов — Подробные Ответы

1. (sinx-cosx)/x;
2. (1-sin2)/(xisn-cosx).

1) $f(x) = \frac{\sin x — \cos x}{x}$;

$f'(x) = \frac{(\sin x — \cos x)’ \cdot x — (\sin x — \cos x) \cdot (x)’}{x^2}$;

$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x) \cdot x — (\sin x — \cos x) \cdot 1}{x^2}$;

$f'(x) = \frac{x \cdot \cos x + x \cdot \sin x — \sin x + \cos x}{x^2}$;

$f'(x) = \frac{\cos x \cdot (x + 1) + \sin x \cdot (x — 1)}{x^2}$;

2) $f(x) = \frac{1 — \sin 2x}{\sin x — \cos x}$;

$f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x}{\sin x — \cos x}$;

$f(x) = \frac{(\cos x — \sin x)^2}{\sin x — \cos x}$;

$f(x) = \sin x — \cos x$;

$f'(x) = (\sin x)’ — (\cos x)’ = \cos x + \sin x$

1. $f(x) = \frac{\sin x — \cos x}{x}$

Для нахождения производной функции, будем использовать правило дифференцирования дроби, которое записывается как:

$$f'(x) = \frac{(u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x))}{(v(x))^2}$$

где:

• $u(x) = \sin x — \cos x$
• $v(x) = x$

Шаг 1: Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$

• Производная $u(x) = \sin x — \cos x$:

  $$u'(x) = \cos x + \sin x$$

• Производная $v(x) = x$:

  $$v'(x) = 1$$

Шаг 2: Подставляем в формулу для производной

Теперь подставим производные в формулу для производной дроби:

$$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x) \cdot x — (\sin x — \cos x) \cdot 1}{x^2}$$

Шаг 3: Упрощаем числитель

Раскрываем числитель:

$$f'(x) = \frac{x \cdot \cos x + x \cdot \sin x — \sin x + \cos x}{x^2}$$

Шаг 4: Группируем подобные члены

Теперь упрощаем числитель, группируя похожие термины:

$$f'(x) = \frac{\cos x \cdot (x + 1) + \sin x \cdot (x — 1)}{x^2}$$

Итак, получаем окончательное выражение для производной:

$$f'(x) = \frac{\cos x \cdot (x + 1) + \sin x \cdot (x — 1)}{x^2}$$

2. $f(x) = \frac{1 — \sin 2x}{\sin x — \cos x}$

Здесь мы применим правило дифференцирования дроби. Сначала упростим выражение в числителе и знаменателе, чтобы легче было работать с функцией.

Шаг 1: Преобразуем числитель

Числитель функции $f(x)$ — это $1 — \sin 2x$. Мы знаем, что:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Таким образом, числитель становится:

$$1 — \sin 2x = 1 — 2 \sin x \cos x$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

Знаменатель функции $f(x)$ — это $\sin x — \cos x$, и он уже в нужной форме.

Шаг 3: Подставляем в дробь

Теперь числитель можно переписать как:

$$1 — 2 \sin x \cos x$$

Таким образом, функция $f(x)$ выглядит следующим образом:

$$f(x) = \frac{1 — 2 \sin x \cos x}{\sin x — \cos x}$$

Шаг 4: Упрощаем выражение

Мы можем заметить, что числитель представляет собой разницу квадратов:

$$1 — 2 \sin x \cos x = (\cos x — \sin x)^2$$

Итак, наша функция принимает вид:

$$f(x) = \frac{(\cos x — \sin x)^2}{\sin x — \cos x}$$

Шаг 5: Упрощение дроби

Мы можем упростить дробь, так как в числителе и знаменателе есть одинаковые члены. Помним, что $\cos x — \sin x = — (\sin x — \cos x)$. Таким образом, дробь упростится:

$$f(x) = \cos x — \sin x$$

Шаг 6: Находим производную

Теперь, когда мы упростили функцию до $f(x) = \cos x — \sin x$, можем найти ее производную.

Производная $\cos x$ по $x$ равна $-\sin x$, а производная $\sin x$ по $x$ равна $\cos x$. Поэтому:

$$f'(x) = -\sin x — \cos x$$

Шаг 7: Заключение

Таким образом, производная функции $f(x) = \frac{1 — \sin 2x}{\sin x — \cos x}$ равна:

$$f'(x) = -\sin x — \cos x$$

$$f'(x) = -\sin x — \cos x$$