ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 85 Алимов — Подробные Ответы

1. 7x корень 3 = корень 7;
2. 25x корень 2 = 5 корень 5;
3. (корень 2)x = 2 корень 2;
4. (корень 3)3x = 3 корень 3.

1)

$$7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7};$$

$$7^{x\sqrt{3}} = 7^{\frac{1}{2}};$$

$$x\sqrt{3} = \frac{1}{2};$$

$$x = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6};$$

Ответ:

$x = \frac{\sqrt{3}}{6}$

.

2)

$$25^{x\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{5}};$$

$$(5^2)^{x\sqrt{2}} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}};$$

$$5^{2x\sqrt{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}};$$

$$2x\sqrt{2} = \frac{3}{2};$$

$$x = \frac{3}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{8};$$

Ответ:

$x = \frac{3\sqrt{2}}{8}$

.

3)

$$(\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2};$$

$$\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^x = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}};$$

$$2^{\frac{x}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}};$$

$$\frac{x}{2} = 1 + \frac{1}{2};$$

$$\frac{x}{2} = \frac{3}{2}, \text{ отсюда } x = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3;$$

Ответ:

$x = 3$

.

4)

$$(\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3};$$

$$\left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{3x} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}};$$

$$3^{\frac{3x}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}};$$

$$\frac{3x}{2} = 1 + \frac{1}{2};$$

$$\frac{3x}{2} = \frac{3}{2}, \text{ отсюда } x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1;$$

Ответ:

$x = 1$

.

1)

$7^{x\sqrt{3}} = \sqrt{7}$

Шаг 1: Представим правую часть как степень числа 7.

$$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}.$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$7^{x\sqrt{3}} = 7^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 2: Поскольку основания одинаковы, приравняем показатели степеней.

$$x\sqrt{3} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Найдем

$x$

. Чтобы выразить

$x$

, разделим обе части уравнения на

$\sqrt{3}$

:

$$x = \frac{1}{2\sqrt{3}}.$$

Шаг 4: Упростим выражение. Умножим числитель и знаменатель на

$\sqrt{3}$

, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$$x = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}.$$

Ответ:

$$x = \frac{\sqrt{3}}{6}.$$

2)

$25^{x\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{5}}$

Шаг 1: Представим число 25 как степень числа 5.

$$25 = 5^2.$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$(5^2)^{x\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{5}}.$$

Шаг 2: Применим свойство степеней:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

.

$$5^{2x\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{5}}.$$

Шаг 3: Поскольку основания одинаковы, приравняем показатели степеней.

$$2x\sqrt{2} = \sqrt{5}.$$

Шаг 4: Найдем

$x$

. Для этого разделим обе части уравнения на

$2\sqrt{2}$

:

$$x = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}.$$

Шаг 5: Упростим выражение. Умножим числитель и знаменатель на

$\sqrt{2}$

, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$$x = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{8}.$$

Ответ:

$$x = \frac{\sqrt{10}}{8}.$$

3)

$(\sqrt{2})^x = 2\sqrt{2}$

Шаг 1: Перепишем обе части уравнения, выразив их через степени числа 2.

• 
  $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ 

  , то есть корень из 2 — это степень 2 с показателем $\frac{1}{2}$ 

  .

• 
  $2\sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ 

  .

Теперь у нас есть уравнение:

$$(2^{\frac{1}{2}})^x = 2^{\frac{3}{2}}.$$

Шаг 2: Применим свойство степеней

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

.

$$2^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}.$$

Шаг 3: Поскольку основания одинаковы, приравняем показатели степеней.

$$\frac{x}{2} = \frac{3}{2}.$$

Шаг 4: Решим уравнение для

$x$

.

Умножим обе части на 2:

$$x = 3.$$

Ответ:

$$x = 3.$$

4)

$(\sqrt{3})^{3x} = 3\sqrt{3}$

Шаг 1: Перепишем обе части уравнения, выразив их через степени числа 3.

• 
  $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ 

  , то есть корень из 3 — это степень 3 с показателем $\frac{1}{2}$ 

  .

• 
  $3\sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ 

  .

Теперь у нас есть уравнение:

$$(3^{\frac{1}{2}})^{3x} = 3^{\frac{3}{2}}.$$

Шаг 2: Применим свойство степеней

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

.

$$3^{\frac{3x}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}.$$

Шаг 3: Поскольку основания одинаковы, приравняем показатели степеней.

$$\frac{3x}{2} = \frac{3}{2}.$$

Шаг 4: Решим уравнение для

$x$

.

Умножим обе части на

$\frac{2}{3}$

:

$$x = 1.$$

Ответ:

$$x = 1.$$

$x = \frac{\sqrt{10}}{8}$