ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 848 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (x2+2x-1);
2. корень 3 степени sinx;
3. корень 4 степени cosx;
4. корень log2(x).

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x — 1}$;

Пусть $u = x^2 + 2x — 1$, тогда $f(u) = \sqrt{u}$;

$f'(x) = (x^2 + 2x — 1)’ \cdot (\sqrt{u})’ = (2x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x — 1}}$;

2) $f(x) = \sqrt[3]{\sin x}$;

Пусть $u = \sin x$, тогда $f(u) = \sqrt[3]{u}$;

$f'(x) = (\sin x)’ \cdot \left( u^{\frac{1}{3}} \right)’ = \cos x \cdot \frac{1}{3} \cdot u^{-\frac{2}{3}} = \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{u^2}} = \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}$;

3) $f(x) = \sqrt[4]{\cos x}$;

Пусть $u = \cos x$, тогда $f(u) = \sqrt[4]{u}$;

$f'(x) = (\cos x)’ \cdot \left( u^{\frac{1}{4}} \right)’ = -\sin x \cdot \frac{1}{4} \cdot u^{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sin x}{4\sqrt[4]{u^3}} = -\frac{\sin x}{4\sqrt[4]{\cos^3 x}}$;

4) $f(x) = \sqrt{\log_2 x}$;

Пусть $u = \log_2 x$, тогда $f(u) = \sqrt{u}$;

$f'(x) = (\log_2 x)’ \cdot (\sqrt{u})’ = \frac{1}{x \ln 2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2x \ln 2 \cdot \sqrt{\log_2 x}}$

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x — 1}$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Для удобства, начнем с введения новой переменной:

$$u = x^2 + 2x — 1$$

Тогда функция $f(x)$ преобразуется в:

$$f(x) = \sqrt{u}$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Чтобы найти производную $f'(x)$, применяем цепное правило. Цепное правило утверждает, что если функция состоит из двух вложенных функций, то производная от сложной функции равна произведению производных внешней и внутренней функций. В данном случае, внешней функцией является $\sqrt{u}$, а внутренней — $u = x^2 + 2x — 1$.

• Производная от $\sqrt{u}$ по $u$ равна $\frac{1}{2\sqrt{u}}$.
• Производная от $u = x^2 + 2x — 1$ по $x$ равна $2x + 2$.

Применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = (2x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}}$$

Шаг 3: Подстановка $u = x^2 + 2x — 1$

Теперь подставляем $u = x^2 + 2x — 1$ обратно в выражение:

$$f'(x) = \frac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x — 1}}$$

Упростим выражение:

$$f'(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x — 1}}$$

Это и есть окончательная производная функции $f(x)$.

2) $f(x) = \sqrt[3]{\sin x}$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Для удобства введем новую переменную:

$$u = \sin x$$

Тогда функция $f(x)$ преобразуется в:

$$f(x) = u^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Теперь применим цепное правило. Производная от $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ равна:

$$\frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}$$

А производная от $u = \sin x$ по $x$ равна $\cos x$.

Применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = (\sin x)’ \cdot \left( u^{\frac{1}{3}} \right)’ = \cos x \cdot \frac{1}{3} \cdot u^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 3: Подстановка $u = \sin x$

Теперь подставляем $u = \sin x$ обратно в выражение:

$$f'(x) = \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}$$

Это и есть окончательная производная функции $f(x)$.

3) $f(x) = \sqrt[4]{\cos x}$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Введем новую переменную:

$$u = \cos x$$

Тогда функция $f(x)$ преобразуется в:

$$f(x) = u^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Применим цепное правило. Производная от $u^{\frac{1}{4}}$ по $u$ равна:

$$\frac{1}{4} u^{-\frac{3}{4}}$$

А производная от $u = \cos x$ по $x$ равна $-\sin x$.

Применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = (\cos x)’ \cdot \left( u^{\frac{1}{4}} \right)’ = -\sin x \cdot \frac{1}{4} \cdot u^{-\frac{3}{4}}$$

Шаг 3: Подстановка $u = \cos x$

Теперь подставляем $u = \cos x$ обратно в выражение:

$$f'(x) = -\frac{\sin x}{4\sqrt[4]{\cos^3 x}}$$

Это и есть окончательная производная функции $f(x)$.

4) $f(x) = \sqrt{\log_2 x}$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Введем новую переменную:

$$u = \log_2 x$$

Тогда функция $f(x)$ преобразуется в:

$$f(x) = \sqrt{u}$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Теперь применим цепное правило. Производная от $\sqrt{u}$ по $u$ равна:

$$\frac{1}{2\sqrt{u}}$$

А производная от $u = \log_2 x$ по $x$ равна:

$$(\log_2 x)’ = \frac{1}{x \ln 2}$$

Применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = (\log_2 x)’ \cdot (\sqrt{u})’ = \frac{1}{x \ln 2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}}$$

Шаг 3: Подстановка $u = \log_2 x$

Теперь подставляем $u = \log_2 x$ обратно в выражение:

$$f'(x) = \frac{1}{2x \ln 2 \cdot \sqrt{\log_2 x}}$$

Это и есть окончательная производная функции $f(x)$.

Итоговые ответы:

1. $f'(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x — 1}}$
2. $f'(x) = \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}$
3. $f'(x) = -\frac{\sin x}{4\sqrt[4]{\cos^3 x}}$
4. $f'(x) = \frac{1}{2x \ln 2 \cdot \sqrt{\log_2 x}}$