ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 847 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^(cosx+1);
2. 0,5^(1+sinx);
3. cos корень 3 степени (x+2);
4. sin(lnx).

1) $f(x) = 2^{\cos x + 1}$;

Пусть $u = \cos x + 1$, тогда $f(u) = 2^u$;

$f'(x) = (\cos x + 1)’ \cdot (2^u)’$;

$f'(x) = -\sin x \cdot 2^u \cdot \ln 2$;

$f'(x) = -2^{\cos x + 1} \cdot \ln 2 \cdot \sin x$;

2) $f(x) = 0,5^{1 + \sin x}$;

Пусть $u = 1 + \sin x$, тогда $f(u) = 0,5^u$;

$f'(x) = (1 + \sin x)’ \cdot (0,5^u)’$;

$f'(x) = \cos x \cdot 0,5^u \cdot \ln 0,5$;

$f'(x) = -0,5^{1 + \sin x} \cdot \ln 2 \cdot \cos x$;

3) $f(x) = \cos \sqrt[3]{x + 2}$;

Пусть $u = \sqrt[3]{x + 2}$, тогда $f(u) = \cos u$;

$f'(x) = (x + 2)^{\frac{1}{3}} \cdot (\cos u)’$;

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x + 2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (-\sin u)$;

$f'(x) = -\frac{\sin \sqrt[3]{x + 2}}{\sqrt[3]{(x + 2)^2}}$;

4) $f(x) = \sin(\ln x)$;

Пусть $u = \ln x$, тогда $f(u) = \sin u$;

$f'(x) = (\ln x)’ \cdot (\sin u)’$;

$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \cos u$;

$f'(x) = \frac{\cos(\ln x)}{x}$

1) $f(x) = 2^{\cos x + 1}$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Начнем с того, что заменим выражение $\cos x + 1$ на новую переменную $u$:

$$u = \cos x + 1$$

Таким образом, функция $f(x)$ преобразуется в:

$$f(x) = 2^u$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Мы применим цепное правило для нахождения производной сложной функции. Цепное правило говорит, что производная сложной функции — это произведение производной внешней функции на производную внутренней функции. В данном случае внешней функцией является $2^u$, а внутренней — $u = \cos x + 1$.

Производная от $2^u$ по $u$ равна $2^u \cdot \ln 2$, так как производная экспоненциальной функции $a^u$ по $u$ равна $a^u \ln a$. А производная от $u = \cos x + 1$ по $x$ равна $-\sin x$.

Теперь, используя цепное правило, мы получаем:

$$f'(x) = (\cos x + 1)’ \cdot (2^u)’$$

Шаг 3: Распишем производные

1. Производная от $\cos x + 1$ по $x$ — это просто производная от $\cos x$, которая равна $-\sin x$. Производная от 1 равна 0.
2. Производная от $2^u$ по $u$ равна $2^u \cdot \ln 2$, где $\ln 2$ — это константа, так как основание экспоненты фиксировано.

Теперь, подставляем все в формулу:

$$f'(x) = -\sin x \cdot 2^u \cdot \ln 2$$

Шаг 4: Подставим $u = \cos x + 1$

Теперь подставляем $u = \cos x + 1$ обратно в выражение:

$$f'(x) = -\sin x \cdot 2^{\cos x + 1} \cdot \ln 2$$

Это и есть окончательная производная.

2) $f(x) = 0,5^{1 + \sin x}$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Предположим, что $u = 1 + \sin x$. Тогда функция $f(x)$ преобразуется в:

$$f(x) = 0,5^u$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Используем цепное правило, аналогично предыдущему примеру. Производная от $0,5^u$ по $u$ будет $0,5^u \cdot \ln 0,5$, а производная $u = 1 + \sin x$ по $x$ равна $\cos x$.

Применяем цепное правило:

$$f'(x) = (1 + \sin x)’ \cdot (0,5^u)’$$

Шаг 3: Распишем производные

1. Производная от $1 + \sin x$ по $x$ равна $\cos x$.
2. Производная от $0,5^u$ по $u$ равна $0,5^u \cdot \ln 0,5$, а $\ln 0,5$ — это отрицательное число, так как $0,5 = 2^{-1}$, и $\ln 0,5 = -\ln 2$.

Теперь подставим это в цепное правило:

$$f'(x) = \cos x \cdot 0,5^u \cdot \ln 0,5$$

Шаг 4: Подставим $u = 1 + \sin x$

Подставляем $u = 1 + \sin x$ обратно:

$$f'(x) = \cos x \cdot 0,5^{1 + \sin x} \cdot \ln 0,5$$

Так как $\ln 0,5 = -\ln 2$, то окончательно:

$$f'(x) = -0,5^{1 + \sin x} \cdot \ln 2 \cdot \cos x$$

3) $f(x) = \cos \sqrt[3]{x + 2}$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Предположим, что $u = \sqrt[3]{x + 2}$. Тогда функция $f(x)$ становится:

$$f(x) = \cos u$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Используем цепное правило для функции $\cos u$. Производная от $\cos u$ по $u$ равна $-\sin u$, а производная $u = \sqrt[3]{x + 2}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} (x + 2)^{-\frac{2}{3}}$ (по правилу дифференцирования степенной функции).

Применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = (x + 2)^{\frac{1}{3}} \cdot (\cos u)’$$

Шаг 3: Распишем производные

1. Производная от $\cos u$ по $u$ равна $-\sin u$.
2. Производная от $u = \sqrt[3]{x + 2}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} (x + 2)^{-\frac{2}{3}}$.

Теперь, подставляем это в выражение:

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x + 2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (-\sin u)$$

Шаг 4: Подставим $u = \sqrt[3]{x + 2}$

Подставляем $u = \sqrt[3]{x + 2}$ обратно в выражение:

$$f'(x) = -\frac{\sin \sqrt[3]{x + 2}}{\sqrt[3]{(x + 2)^2}}$$

4) $f(x) = \sin(\ln x)$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Предположим, что $u = \ln x$. Тогда функция $f(x)$ преобразуется в:

$$f(x) = \sin u$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Используем цепное правило для функции $\sin u$. Производная от $\sin u$ по $u$ равна $\cos u$, а производная $u = \ln x$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$.

Применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = (\ln x)’ \cdot (\sin u)’$$

Шаг 3: Распишем производные

1. Производная от $\ln x$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$.
2. Производная от $\sin u$ по $u$ равна $\cos u$.

Теперь, подставляем это в выражение:

$$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \cos u$$

Шаг 4: Подставим $u = \ln x$

Подставляем $u = \ln x$ обратно:

$$f'(x) = \frac{\cos(\ln x)}{x}$$

Итоговые ответы:

1. $f'(x) = -2^{\cos x + 1} \cdot \ln 2 \cdot \sin x$
2. $f'(x) = -0,5^{1 + \sin x} \cdot \ln 2 \cdot \cos x$
3. $f'(x) = -\frac{\sin \sqrt[3]{x + 2}}{\sqrt[3]{(x + 2)^2}}$
4. $f'(x) = \frac{\cos(\ln x)}{x}$