ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 846 Алимов — Подробные Ответы

1. ln корень (x-1);
2. e^корень (3+x);
3. ln (cos x);
4. ln (sin x).

1) $f(x) = \ln \sqrt{x-1}$;

Пусть $u = \sqrt{x-1}$, тогда $f(u) = \ln u$;
$f'(x) = (x-1)^{\frac{1}{2}} \cdot (\ln u)’$;
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{u}$;
$f'(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x-1}}$;
$f'(x) = \frac{1}{2(x-1)}$;

2) $f(x) = e^{\sqrt{3+x}}$;

Пусть $u = \sqrt{3+x}$, тогда $f(u) = e^u$;
$f'(x) = (3+x)^{\frac{1}{2}} \cdot (e^u)’$;
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (3+x)^{-\frac{1}{2}} \cdot e^u$;
$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{3+x}}}{2 \cdot \sqrt{3+x}}$;

3) $f(x) = \ln(\cos x)$;

Пусть $u = \cos x$, тогда $f(u) = \ln u$;
$f'(x) = (\cos x)’ \cdot \frac{1}{u}$;
$f'(x) = -\sin x \cdot \frac{1}{\cos x}$;
$f'(x) = -\tan x$;

4) $f(x) = \ln(\sin x)$;

Пусть $u = \sin x$, тогда $f(u) = \ln u$;
$f'(x) = (\sin x)’ \cdot \frac{1}{u}$;
$f'(x) = \cos x \cdot \frac{1}{\sin x}$;
$f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$;
$f'(x) = \ctg x$

1) $f(x) = \ln \sqrt{x-1}$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Для начала сделаем замену: пусть $u = \sqrt{x-1}$. Это удобно, потому что тогда наша функция превращается в более простую форму:

$$f(x) = \ln u$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Теперь, чтобы найти производную $f'(x)$, применяем цепное правило, которое гласит, что производная сложной функции — это произведение производной внешней функции на производную внутренней функции. В данном случае:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln u \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( u \right)$$

Производная от $\ln u$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$, а производная $u = \sqrt{x-1}$ по $x$ (будем использовать стандартную производную от $\sqrt{x-1}$) равна $\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Таким образом, получаем:

$$f'(x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$$

Шаг 3: Замена обратно на $u$

Напоминаем, что $u = \sqrt{x-1}$, поэтому подставляем это обратно в выражение:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x-1}} = \frac{1}{2(x-1)}$$

Итак, окончательная производная:

$$f'(x) = \frac{1}{2(x-1)}$$

2) $f(x) = e^{\sqrt{3+x}}$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Аналогично предыдущему примеру, пусть $u = \sqrt{3+x}$. Тогда $f(x)$ становится:

$$f(x) = e^u$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Производная $e^u$ по $u$ равна $e^u$, а производная $u = \sqrt{3+x}$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{3+x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3+x}}$$

Таким образом, применяя цепное правило, мы получаем:

$$f'(x) = e^u \cdot \frac{1}{2\sqrt{3+x}}$$

Шаг 3: Замена обратно на $u$

Поскольку $u = \sqrt{3+x}$, подставляем это в результат:

$$f'(x) = e^{\sqrt{3+x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{3+x}}$$

Итак, окончательная производная:

$$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{3+x}}}{2 \sqrt{3+x}}$$

3) $f(x) = \ln(\cos x)$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Для начала, пусть $u = \cos x$. Тогда наша функция $f(x)$ становится:

$$f(x) = \ln u$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Производная от $\ln u$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$, а производная $u = \cos x$ по $x$ равна $-\sin x$. Таким образом, применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = -\sin x \cdot \frac{1}{\cos x}$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Мы знаем, что $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, поэтому:

$$f'(x) = -\tan x$$

Итак, окончательная производная:

$$f'(x) = -\tan x$$

4) $f(x) = \ln(\sin x)$

Шаг 1: Определение вспомогательной функции

Сначала пусть $u = \sin x$. Тогда функция $f(x)$ преобразуется в:

$$f(x) = \ln u$$

Шаг 2: Применение цепного правила

Производная от $\ln u$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$, а производная $u = \sin x$ по $x$ равна $\cos x$. Таким образом, применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = \cos x \cdot \frac{1}{\sin x}$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Мы знаем, что $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$, поэтому:

$$f'(x) = \cot x$$

Итак, окончательная производная:

$$f'(x) = \ctg x$$

Итоговые ответы:

1. $f'(x) = \frac{1}{2(x-1)}$
2. $f'(x) = \frac{e^{\sqrt{3+x}}}{2 \sqrt{3+x}}$
3. $f'(x) = -\tan x$
4. $f'(x) = \ctg x$