ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 843 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции (843—851).

1. $\sqrt{\frac{2x-1}{3}}+\ln \frac{2x+3}{5}$
2. $\sqrt{\frac{1-x}{6}}-2\ln \frac{2-5x}{3}$
3. $2e^{\frac{1-x}{3}}+3\cos \frac{1-x}{2}$
4. $3e^{\frac{2-x}{3}}-2\sin \frac{1+x}{4}$

1) $f(x) = \sqrt{\frac{2x-1}{3}} + \ln \frac{2x+3}{5}$;

$f'(x) = \left( \frac{2}{3} x — \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{2}} + \left( \ln \left( \frac{2}{5} x + \frac{3}{5} \right) \right)’$;

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{2}{3} x — \frac{1}{3} \right)^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2}{5} x + \frac{3}{5}}$;

$f'(x) = \frac{1}{3 \sqrt{\frac{2}{3} x — \frac{1}{3}}} + \frac{2}{2x+3}$;

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{6x-3}} + \frac{2}{2x+3}$;

2) $f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{6}} — 2 \ln \frac{2-5x}{3}$;

$f'(x) = \left( \frac{1}{6} — \frac{1}{6} x \right)^{\frac{1}{2}} — 2 \cdot \left( \ln \left( \frac{2}{3} — \frac{5}{3} x \right) \right)’$;

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} — \frac{1}{6} x \right)^{-\frac{1}{2}} — 2 \cdot \frac{-\frac{5}{3}}{\frac{2}{3} — \frac{5}{3} x}$;

$f'(x) = \frac{1}{12 \sqrt{\frac{1}{6} — \frac{1}{6} x}} + \frac{2 \cdot 5}{2-5x}$;

$f'(x) = \frac{10}{2-5x} — \frac{1}{2 \sqrt{6-6x}}$;

3) $f(x) = 2 e^{\frac{1-x}{3}} + 3 \cos \frac{1-x}{2}$;

$f'(x) = 2 \cdot \left( e^{\frac{1}{3} — \frac{1}{3} x} \right)’ + 3 \cdot \left( \cos \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{2} x \right) \right)’$;

$f'(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \cdot e^{\frac{1}{3} — \frac{1}{3} x} + 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{2} x \right) \right)$;

$f'(x) = \frac{3}{2} \sin \frac{1-x}{2} — \frac{2}{3} e^{\frac{1-x}{3}}$;

4) $f(x) = 3 e^{\frac{2-x}{3}} — 2 \sin \frac{1+x}{4}$;

$f'(x) = 3 \cdot \left( e^{\frac{2}{3} — \frac{1}{3} x} \right)’ — 2 \cdot \left( \sin \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} x \right) \right)’$;

$f'(x) = 3 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \cdot e^{\frac{2}{3} — \frac{1}{3} x} — 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \cos \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} x \right)$;

$f'(x) = -e^{\frac{2-x}{3}} — \frac{1}{2} \cos \frac{1+x}{4}$

1) $f(x) = \sqrt{\frac{2x-1}{3}} + \ln \frac{2x+3}{5}$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

Для начала применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

1.1. Производная от $\sqrt{\frac{2x-1}{3}}$:

Используем правило дифференцирования функции вида $\sqrt{u(x)}$, где $u(x) = \frac{2x-1}{3}$. Производная такой функции будет равна:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{u(x)} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$$

Сначала находим $u'(x)$, где $u(x) = \frac{2x-1}{3}$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x-1}{3} \right) = \frac{2}{3}$$

Теперь можем найти производную от $\sqrt{\frac{2x-1}{3}}$:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{2x-1}{3}} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{2x-1}{3}}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3 \sqrt{\frac{2x-1}{3}}}$$

1.2. Производная от $\ln \frac{2x+3}{5}$:

Используем стандартное правило для производной логарифма:

$$\frac{d}{dx} \left( \ln u(x) \right) = \frac{u'(x)}{u(x)}$$

Здесь $u(x) = \frac{2x+3}{5}$, и его производная:

$$u'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x+3}{5} \right) = \frac{2}{5}$$

Теперь можем найти производную от $\ln \frac{2x+3}{5}$:

$$\frac{d}{dx} \left( \ln \frac{2x+3}{5} \right) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2x+3}{5}} = \frac{2}{2x+3}$$

Шаг 2: Составляем полную производную

Теперь соберем обе найденные производные:

$$f'(x) = \frac{1}{3 \sqrt{\frac{2x-1}{3}}} + \frac{2}{2x+3}$$

Для удобства выразим первое слагаемое в более компактной форме:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{6x-3}} + \frac{2}{2x+3}$$

2) $f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{6}} — 2 \ln \frac{2-5x}{3}$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

2.1. Производная от $\sqrt{\frac{1-x}{6}}$:

Сначала используем правило дифференцирования функции $\sqrt{u(x)}$, где $u(x) = \frac{1-x}{6}$. Производная такой функции будет:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{u(x)} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$$

Теперь находим производную от $u(x) = \frac{1-x}{6}$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1-x}{6} \right) = -\frac{1}{6}$$

Теперь находим производную от $\sqrt{\frac{1-x}{6}}$:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{1-x}{6}} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-x}{6}}} \cdot \left( -\frac{1}{6} \right) = -\frac{1}{12 \sqrt{\frac{1-x}{6}}}$$

2.2. Производная от $-2 \ln \frac{2-5x}{3}$:

Применим правило для производной логарифма:

$$\frac{d}{dx} \left( \ln u(x) \right) = \frac{u'(x)}{u(x)}$$

Здесь $u(x) = \frac{2-5x}{3}$, и его производная:

$$u'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2-5x}{3} \right) = -\frac{5}{3}$$

Теперь находим производную от $-2 \ln \frac{2-5x}{3}$:

$$\frac{d}{dx} \left( -2 \ln \frac{2-5x}{3} \right) = -2 \cdot \frac{-\frac{5}{3}}{\frac{2-5x}{3}} = \frac{10}{2-5x}$$

Шаг 2: Составляем полную производную

Теперь соберем обе производные:

$$f'(x) = -\frac{1}{12 \sqrt{\frac{1-x}{6}}} + \frac{10}{2-5x}$$

Для удобства выразим первое слагаемое в более компактной форме:

$$f'(x) = \frac{10}{2-5x} — \frac{1}{2 \sqrt{6-6x}}$$

3) $f(x) = 2 e^{\frac{1-x}{3}} + 3 \cos \frac{1-x}{2}$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

3.1. Производная от $2 e^{\frac{1-x}{3}}$:

Используем цепное правило для экспоненциальной функции:

$$\frac{d}{dx} \left( e^{u(x)} \right) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$$

Здесь $u(x) = \frac{1-x}{3}$, и его производная:

$$u'(x) = -\frac{1}{3}$$

Теперь находим производную от $2 e^{\frac{1-x}{3}}$:

$$\frac{d}{dx} \left( 2 e^{\frac{1-x}{3}} \right) = 2 \cdot e^{\frac{1-x}{3}} \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{2}{3} e^{\frac{1-x}{3}}$$

3.2. Производная от $3 \cos \frac{1-x}{2}$:

Применяем цепное правило для косинуса:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos u(x) \right) = -\sin u(x) \cdot u'(x)$$

Здесь $u(x) = \frac{1-x}{2}$, и его производная:

$$u'(x) = -\frac{1}{2}$$

Теперь находим производную от $3 \cos \frac{1-x}{2}$:

$$\frac{d}{dx} \left( 3 \cos \frac{1-x}{2} \right) = 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\sin \frac{1-x}{2} \right) = \frac{3}{2} \sin \frac{1-x}{2}$$

Шаг 2: Составляем полную производную

Теперь соберем обе производные:

$$f'(x) = \frac{3}{2} \sin \frac{1-x}{2} — \frac{2}{3} e^{\frac{1-x}{3}}$$

4) $f(x) = 3 e^{\frac{2-x}{3}} — 2 \sin \frac{1+x}{4}$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

4.1. Производная от $3 e^{\frac{2-x}{3}}$:

Применяем цепное правило для экспоненциальной функции:

$$\frac{d}{dx} \left( e^{u(x)} \right) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$$

Здесь $u(x) = \frac{2-x}{3}$, и его производная:

$$u'(x) = -\frac{1}{3}$$

Теперь находим производную от $3 e^{\frac{2-x}{3}}$:

$$\frac{d}{dx} \left( 3 e^{\frac{2-x}{3}} \right) = 3 \cdot e^{\frac{2-x}{3}} \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -e^{\frac{2-x}{3}}$$

4.2. Производная от $-2 \sin \frac{1+x}{4}$:

Применяем цепное правило для синуса:

$$\frac{d}{dx} \left( \sin u(x) \right) = \cos u(x) \cdot u'(x)$$

Здесь $u(x) = \frac{1+x}{4}$, и его производная:

$$u'(x) = \frac{1}{4}$$

Теперь находим производную от $-2 \sin \frac{1+x}{4}$:

$$\frac{d}{dx} \left( -2 \sin \frac{1+x}{4} \right) = -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \cos \frac{1+x}{4} = -\frac{1}{2} \cos \frac{1+x}{4}$$

Шаг 2: Составляем полную производную

Теперь соберем обе производные:

$$f'(x) = -e^{\frac{2-x}{3}} — \frac{1}{2} \cos \frac{1+x}{4}$$

Ответы:

1. $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{6x-3}} + \frac{2}{2x+3}$
2. $f'(x) = \frac{10}{2-5x} — \frac{1}{2 \sqrt{6-6x}}$
3. $f'(x) = \frac{3}{2} \sin \frac{1-x}{2} — \frac{2}{3} e^{\frac{1-x}{3}}$
4. $f'(x) = -e^{\frac{2-x}{3}} — \frac{1}{2} \cos \frac{1+x}{4}$