ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 842 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, при каких значениях х значение производной функции f (х) положительно:

1. f(x) = ех-х;
2. f (х) = х ln 2 — 2х;
3. f(x) = exx2;
4. f (х) = ех корень х.

1. $f(x) = e^x — x$;
   $f'(x) = (e^x)’ — (x)’ = e^x — 1$;
   Производная положительна при:
   $e^x — 1 > 0$;
   $e^x > 1$, отсюда $x > 0$;
   Ответ: $x \in (0; +\infty)$.
2. $f(x) = x \ln 2 — 2^x$;
   $f'(x) = (\ln 2) \cdot (x)’ — (2^x)’ = \ln 2 — 2^x \cdot \ln 2$;
   Производная положительна при:
   $\ln 2 — 2^x \cdot \ln 2 > 0$;
   $\ln 2 \cdot (1 — 2^x) > 0$;
   $1 — 2^x > 0$;
   $-2^x > -1$;
   $2^x < 1$, отсюда $x < 0$;
   Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.
3. $f(x) = e^x \cdot x^2$;
   $f'(x) = (e^x)’ \cdot x^2 + e^x \cdot (x^2)’ = e^x \cdot x^2 + e^x \cdot 2x$;
   Производная положительна при:
   $e^x \cdot x^2 + e^x \cdot 2x > 0$;
   $e^x \cdot (x^2 + 2x) > 0$;
   $x^2 + 2x > 0$;
   $(x + 2) \cdot x > 0$;
   $x < -2$ или $x > 0$;
   Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.
4. $f(x) = e^x \cdot \sqrt{x}$;
   $f'(x) = (e^x)’ \cdot \sqrt{x} + e^x \cdot (\sqrt{x})’ = e^x \cdot \sqrt{x} + e^x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$;
   Производная положительна при:
   $e^x \cdot \sqrt{x} + e^x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$;
   $e^x \cdot \left( \sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) > 0$;
   $\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ — при любом $x$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x > 0$;
   Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

1) $f(x) = e^x — x$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

Производная от экспоненты $e^x$ равна $e^x$, а производная от $x$ равна 1. Следовательно, производная функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) — \frac{d}{dx}(x) = e^x — 1$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

Чтобы понять, когда производная положительна, приравняем производную к нулю и решим неравенство:

$$f'(x) = e^x — 1 > 0$$ $$e^x > 1$$

Экспоненциальная функция $e^x$ всегда положительна, и она принимает значение больше 1 при $x > 0$. Таким образом:

$$x > 0$$

Ответ:

Производная положительна при $x \in (0; +\infty)$.

2) $f(x) = x \ln 2 — 2^x$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

Производная от $x \ln 2$ по $x$ равна $\ln 2$, так как $\ln 2$ — это константа. Производная от $2^x$ по $x$ равна $2^x \cdot \ln 2$ (используем правило дифференцирования экспоненциальной функции). Следовательно:

$$f'(x) = (\ln 2) \cdot \frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(2^x) = \ln 2 — 2^x \cdot \ln 2$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

Чтобы найти, при каких $x$ производная положительна, приравняем её к нулю и решим неравенство:

$$f'(x) = \ln 2 — 2^x \cdot \ln 2 > 0$$

Вынесем $\ln 2$ за скобки:

$$\ln 2 \cdot (1 — 2^x) > 0$$

Так как $\ln 2 > 0$, неравенство сводится к:

$$1 — 2^x > 0$$ $$2^x < 1$$

Решаем неравенство $2^x < 1$. Это выполняется, когда $x < 0$, так как $2^x$ монотонно возрастает и для $x = 0$ оно равно 1.

Ответ:

Производная положительна при $x \in (-\infty; 0)$.

3) $f(x) = e^x \cdot x^2$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

Для нахождения производной произведения двух функций используем правило произведения:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot x^2 + e^x \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$$

Производная от $e^x$ — это $e^x$, а производная от $x^2$ — это $2x$. Следовательно:

$$f'(x) = e^x \cdot x^2 + e^x \cdot 2x$$

Вынесем $e^x$ за скобки:

$$f'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x)$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

Чтобы понять, при каких $x$ производная положительна, приравняем её к нулю и решим неравенство:

$$f'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x) > 0$$

Поскольку $e^x > 0$ для всех $x$, неравенство сводится к:

$$x^2 + 2x > 0$$

Решим неравенство:

$$x(x + 2) > 0$$

Это произведение больше нуля, когда либо оба множителя положительны, либо оба отрицательны. Таким образом:

$$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 0$$

Ответ:

Производная положительна при $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

4) $f(x) = e^x \cdot \sqrt{x}$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x)$

Для нахождения производной произведения используем правило произведения:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) \cdot \sqrt{x} + e^x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$$

Производная от $e^x$ равна $e^x$, а производная от $\sqrt{x} = x^{1/2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Таким образом:

$$f'(x) = e^x \cdot \sqrt{x} + e^x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Вынесем $e^x$ за скобки:

$$f'(x) = e^x \cdot \left( \sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

Чтобы понять, при каких $x$ производная положительна, приравняем её к нулю и решим неравенство:

$$f'(x) = e^x \cdot \left( \sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) > 0$$

Так как $e^x > 0$ для всех $x$, неравенство сводится к:

$$\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$$

Это выражение всегда положительно для $x > 0$, так как обе части выражения положительные для $x > 0$.

Ответ:

Производная положительна при $x \in (0; +\infty)$.