ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 837 Алимов — Подробные Ответы

1. sin (2x — 1);
2. cos (x+2);
3. sin (3 — x);
4. cos (x3).

1. $f(x) = \sin(2x — 1)$;
   $f'(x) = (\sin(2x — 1))’ = 2 \cos(2x — 1)$;
2. $f(x) = \cos(x + 2)$;
   $f'(x) = (\cos(x + 2))’ = -\sin(x + 2)$;
3. $f(x) = \sin(3 — x)$;
   $f'(x) = (\sin(3 — x))’ = -\cos(3 — x)$;
4. $f(x) = \cos(x^3)$;
   Пусть $u = x^3$, тогда $f(u) = \cos u$;
   $f'(x) = (x^3)’ \cdot (\cos u)’ = 3x^2 \cdot (-\sin u) = -3x^2 \cdot \sin x^3$

1) $f(x) = \sin(2x — 1)$

Нам нужно найти производную функции $f(x) = \sin(2x — 1)$. Для этого используем правило цепочки, так как у нас есть составная функция.

Шаг 1: Применяем правило цепочки

Правило цепочки гласит, что если функция имеет вид $f(x) = \sin(g(x))$, то её производная будет:

$$f'(x) = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$$

Здесь $g(x) = 2x — 1$, поэтому нужно дифференцировать внешнюю функцию $\sin(u)$ по $u$, а затем умножить на производную внутренней функции $g(x)$.

Шаг 2: Дифференцируем внешнюю функцию

Производная от $\sin(u)$ по $u$ равна $\cos(u)$, где $u = 2x — 1$. Таким образом:

$$\frac{d}{dx} \left( \sin(2x — 1) \right) = \cos(2x — 1)$$

Шаг 3: Дифференцируем внутреннюю функцию

Теперь нужно дифференцировать внутреннюю функцию $g(x) = 2x — 1$. Производная от $2x — 1$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \left( 2x — 1 \right) = 2$$

Шаг 4: Составляем итоговое выражение

Теперь комбинируем результаты:

$$f'(x) = 2 \cdot \cos(2x — 1)$$

2) $f(x) = \cos(x + 2)$

Для этой функции также применим правило цепочки, так как у нас составная функция.

Шаг 1: Применяем правило цепочки

Если $f(x) = \cos(g(x))$, то производная будет:

$$f'(x) = -\sin(g(x)) \cdot g'(x)$$

Здесь $g(x) = x + 2$, поэтому нужно дифференцировать внешнюю функцию $\cos(u)$ по $u$, а затем умножить на производную внутренней функции $g(x)$.

Шаг 2: Дифференцируем внешнюю функцию

Производная от $\cos(u)$ по $u$ равна $-\sin(u)$. В нашем случае $u = x + 2$, значит:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos(x + 2) \right) = -\sin(x + 2)$$

Шаг 3: Дифференцируем внутреннюю функцию

Производная от $x + 2$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \left( x + 2 \right) = 1$$

Шаг 4: Составляем итоговое выражение

Теперь комбинируем результаты:

$$f'(x) = -\sin(x + 2) \cdot 1 = -\sin(x + 2)$$

3) $f(x) = \sin(3 — x)$

Здесь также применим правило цепочки, так как у нас составная функция.

Шаг 1: Применяем правило цепочки

Если $f(x) = \sin(g(x))$, то производная будет:

$$f'(x) = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$$

Здесь $g(x) = 3 — x$, нужно дифференцировать внешнюю функцию $\sin(u)$, а затем умножить на производную внутренней функции $g(x)$.

Шаг 2: Дифференцируем внешнюю функцию

Производная от $\sin(u)$ по $u$ равна $\cos(u)$. В нашем случае $u = 3 — x$, значит:

$$\frac{d}{dx} \left( \sin(3 — x) \right) = \cos(3 — x)$$

Шаг 3: Дифференцируем внутреннюю функцию

Производная от $3 — x$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \left( 3 — x \right) = -1$$

Шаг 4: Составляем итоговое выражение

Теперь комбинируем результаты:

$$f'(x) = -\cos(3 — x)$$

4) $f(x) = \cos(x^3)$

Здесь снова применяется правило цепочки, так как функция составная.

Шаг 1: Применяем правило цепочки

Если $f(x) = \cos(g(x))$, то производная будет:

$$f'(x) = -\sin(g(x)) \cdot g'(x)$$

Здесь $g(x) = x^3$, нужно дифференцировать внешнюю функцию $\cos(u)$ по $u$, а затем умножить на производную внутренней функции $g(x)$.

Шаг 2: Дифференцируем внешнюю функцию

Производная от $\cos(u)$ по $u$ равна $-\sin(u)$. В нашем случае $u = x^3$, значит:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos(x^3) \right) = -\sin(x^3)$$

Шаг 3: Дифференцируем внутреннюю функцию

Производная от $x^3$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \left( x^3 \right) = 3x^2$$

Шаг 4: Составляем итоговое выражение

Теперь комбинируем результаты:

$$f'(x) = -3x^2 \cdot \sin(x^3)$$