ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 830 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции f (х) = корень (х2 — 5х + 6) при х < 2 и при х > 3.

$$f(x) = \sqrt{x^2 — 5x + 6};$$

Пусть $u = x^2 — 5x + 6$, тогда $f(u) = \sqrt{u}$;

$$f'(x) = (x^2 — 5x + 6)’ \cdot (\sqrt{u})’;$$ $$f'(x) = (2x — 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}};$$ $$f'(x) = \frac{2x — 5}{2\sqrt{x^2 — 5x + 6}};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 5x + 6 > 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$ $$(x — 2)(x — 3) > 0;$$ $$x < 2 \quad \text{или} \quad x > 3;$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{2x-5}{2\sqrt{(x-2)(x-3)}}}}$$

Нам дана функция:

$$f(x) = \sqrt{x^2 — 5x + 6}$$

Наша задача — найти производную этой функции и установить, при каких значениях $x$ она определена.

Шаг 1: Представление функции в удобной форме

Мы видим, что под корнем стоит выражение, зависящее от $x$, поэтому для начала представим функцию как композицию двух функций:

$$f(x) = \sqrt{u}, \quad \text{где} \quad u = x^2 — 5x + 6$$

Теперь у нас есть две функции:

1. $u(x) = x^2 — 5x + 6$
2. $f(u) = \sqrt{u}$

Для нахождения производной $f'(x)$, будем использовать правило цепочки.

Шаг 2: Применяем правило цепочки

Правило цепочки для производной функции вида $f(u(x))$ имеет следующий вид:

$$f'(x) = f'(u) \cdot u'(x)$$

где:

• $f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ — производная от $\sqrt{u}$,
• $u'(x) = (x^2 — 5x + 6)’$ — производная от $u(x)$ по $x$.

Шаг 3: Находим производную от $u(x)$

Нам нужно найти производную от $u(x) = x^2 — 5x + 6$. Для этого используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $x^2$ по $x$ — это $2x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

Производная от $-5x$ по $x$ — это $-5$:

$$\frac{d}{dx}(-5x) = -5$$

Производная от константы $6$ по $x$ равна 0:

$$\frac{d}{dx}(6) = 0$$

Таким образом, производная от $u(x)$ по $x$ будет:

$$u'(x) = 2x — 5$$

Шаг 4: Находим производную от $f(x)$

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 — 5x + 6}} \cdot (2x — 5)$$

Итак, производная функции $f(x)$ равна:

$$f'(x) = \frac{2x — 5}{2\sqrt{x^2 — 5x + 6}}$$

Шаг 5: Находим область определения функции

Для того чтобы выражение $f'(x)$ имело смысл, подкоренное выражение $x^2 — 5x + 6$ должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Найдем, при каких значениях $x$ выражение $x^2 — 5x + 6$ неотрицательно. Для этого решим неравенство:

$$x^2 — 5x + 6 \geq 0$$

Шаг 5.1: Решение неравенства $x^2 — 5x + 6 \geq 0$

Для начала находим корни квадратного уравнения $x^2 — 5x + 6 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант для уравнения $x^2 — 5x + 6 = 0$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Таким образом, уравнение $x^2 — 5x + 6 = 0$ имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Шаг 5.2: Интервалы, на которых функция положительна

Рассмотрим знаки выражения $x^2 — 5x + 6$ на интервалах, определённых этими корнями:

1. На интервале $(-\infty, 2)$ выражение $x^2 — 5x + 6$ отрицательно.
2. На интервале $(2, 3)$ выражение $x^2 — 5x + 6$ положительно.
3. На интервале $(3, +\infty)$ выражение $x^2 — 5x + 6$ положительно.

Таким образом, выражение $x^2 — 5x + 6 \geq 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.

Шаг 6: Итоговый ответ

Производная функции $f(x) = \sqrt{x^2 — 5x + 6}$ равна:

$$f'(x) = \frac{2x — 5}{2\sqrt{x^2 — 5x + 6}}$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 5x + 6 \geq 0, \quad \text{то есть} \quad x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$$

Таким образом, ответ:

$$f'(x) = \frac{2x — 5}{2\sqrt{(x — 2)(x — 3)}}$$

Итог:

1. Мы представили функцию как композицию двух функций и использовали правило цепочки для нахождения производной.
2. Затем мы нашли область определения для функции, решив неравенство, при котором подкоренное выражение неотрицательно.
3. Получили окончательное выражение для производной и интервал её определения.