ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 83 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$(a^{1 + \sqrt{2}})^{1 — \sqrt{2}};$$

2)

$$\left(\frac{1 — \sqrt{6}}{m^{1 + \sqrt{5}}}\right)^{-3} \cdot m^{\frac{3}{2}};$$

3)

$$(a^{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{8}})^{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}};$$

4)

$$(a^{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3} + 1})^{1 — \sqrt[3]{3}}.$$

1)

$$\left(a^{1 + \sqrt{2}}\right)^{1 — \sqrt{2}} = a^{(1 + \sqrt{2})(1 — \sqrt{2})} = a^{1^2 — (\sqrt{2})^2} = a^{1 — 2} = a^{-1} = \frac{1}{a};$$

Ответ:

$\frac{1}{a}$

.

2)

$$\left(\frac{1 — \sqrt{5}}{m^{1 + \sqrt{5}}}\right)^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{-3(1 — \sqrt{5})} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{1 + \sqrt{5} — 3 + \frac{3\sqrt{5}}{2}} =$$

$$= m^{\frac{2(3\sqrt{5} — 3) + 3\sqrt{5}(1 + \sqrt{5})}{2(1 + \sqrt{5})}} = m^{\frac{6\sqrt{5} — 6 + 3\sqrt{5} + 15}{2(1 + \sqrt{5})}} = m^{\frac{9 + 9\sqrt{5}}{2(1 + \sqrt{5})}} = m^{2(1 + \sqrt{5})} = m^2;$$

Ответ:

$m^2$

.

3)

$$\left(a^{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}}\right)^{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} = a^{(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})} =$$

$$= a^{\sqrt[3]{8} — \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{12} — \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{27}} = a^{\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{27}} = a^{2 + 3} = a^5;$$

Ответ:

$a^5$

.

4)

$$\left(a^{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}\right)^{1 — \sqrt[3]{3}} = a^{(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)(1 — \sqrt[3]{3})} = a^{\sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{9} + 1 — \sqrt[3]{3}} =$$

$$= a^{-\sqrt[3]{27} + 1} = a^{-3 + 1} = a^{-2} = \frac{1}{a^2};$$

Ответ:

$\frac{1}{a^2}$

.

1)

$$\left(a^{1 + \sqrt{2}}\right)^{1 — \sqrt{2}} = a^{(1 + \sqrt{2})(1 — \sqrt{2})}$$

Шаг 1: Применяем свойство степени При возведении степени в степень, перемножаются показатели степени:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

Здесь у нас

$m = 1 + \sqrt{2}$

и

$n = 1 — \sqrt{2}$

, следовательно:

$$\left(a^{1 + \sqrt{2}}\right)^{1 — \sqrt{2}} = a^{(1 + \sqrt{2})(1 — \sqrt{2})}$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов Используем формулу разности квадратов:

$$(1 + \sqrt{2})(1 — \sqrt{2}) = 1^2 — (\sqrt{2})^2 = 1 — 2 = -1$$

Таким образом, получаем:

$$a^{(1 + \sqrt{2})(1 — \sqrt{2})} = a^{-1}$$

Шаг 3: Записываем итоговый результат

$$a^{-1} = \frac{1}{a}$$

Ответ:

$\frac{1}{a}$

2)

$$\left(\frac{1 — \sqrt{5}}{m^{1 + \sqrt{5}}}\right)^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$$

Шаг 1: Обработка отрицательной степени При возведении дроби в отрицательную степень, она инвертируется:

$$\left(\frac{1 — \sqrt{5}}{m^{1 + \sqrt{5}}}\right)^{-3} = \left(m^{1 + \sqrt{5}}\right)^3 \cdot (1 — \sqrt{5})^{-3}$$

Теперь у нас есть выражение:

$$m^{3(1 + \sqrt{5})} \cdot (1 — \sqrt{5})^{-3}$$

Шаг 2: Умножение на

$m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$

Далее, умножаем на второй множитель:

$$m^{3(1 + \sqrt{5})} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{3(1 + \sqrt{5}) + \frac{3\sqrt{5}}{2}}$$

Распишем выражение в показателе:

$$3(1 + \sqrt{5}) = 3 + 3\sqrt{5}$$

Таким образом, получаем:

$$m^{3 + 3\sqrt{5} + \frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{3 + \frac{9\sqrt{5}}{2}}$$

Шаг 3: Упрощение выражения Теперь приводим подобные слагаемые. Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

$$m^{3 + \frac{9\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{6 + 9\sqrt{5}}{2}}$$

Это можно упростить до:

$$m^{2(1 + \sqrt{5})}$$

Шаг 4: Окончательное упрощение Наконец, получаем результат:

$$m^{2(1 + \sqrt{5})} = m^2$$

Ответ:

$m^2$

3)

$$\left(a^{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}}\right)^{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}$$

Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень Используем правило для степени степени:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

Здесь

$m = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}$

и

$n = \sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}$

. Следовательно:

$$\left(a^{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}}\right)^{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} = a^{(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}) \cdot (\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})}$$

Шаг 2: Раскрытие скобок Теперь раскрываем скобки:

$$(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$$

Каждое слагаемое будет выглядеть следующим образом:

$$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8}, \quad \sqrt[3]{2} \cdot (-\sqrt[3]{6}) = -\sqrt[3]{12}, \quad \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{18}$$

$$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{12}, \quad \sqrt[3]{3} \cdot (-\sqrt[3]{6}) = -\sqrt[3]{18}, \quad \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{27}$$

Теперь складываем все результаты:

$$\sqrt[3]{8} — \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{12} — \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{27}$$

Слагаемые

$\sqrt[3]{12}$

и

$\sqrt[3]{18}$

сокращаются, оставляя:

$$\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{27} = 2 + 3 = 5$$

Шаг 3: Итоговое выражение Итак, мы получаем:

$$a^5$$

Ответ:

$a^5$

4)

$$\left(a^{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}\right)^{1 — \sqrt[3]{3}}$$

Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень Используем формулу для степени степени:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

Здесь

$m = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1$

и

$n = 1 — \sqrt[3]{3}$

. Следовательно:

$$\left(a^{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}\right)^{1 — \sqrt[3]{3}} = a^{(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)(1 — \sqrt[3]{3})}$$

Шаг 2: Раскрытие скобок Теперь раскрываем скобки:

$$(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)(1 — \sqrt[3]{3}) = \sqrt[3]{9} \cdot 1 — \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} \cdot 1 — \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} + 1 \cdot 1 — 1 \cdot \sqrt[3]{3}$$

Рассчитываем каждое произведение:

$$\sqrt[3]{9} \cdot 1 = \sqrt[3]{9}, \quad \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{27}, \quad \sqrt[3]{3} \cdot 1 = \sqrt[3]{3}, \quad \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{9}, \quad 1 \cdot 1 = 1$$

Теперь получаем:

$$\sqrt[3]{9} — \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{9} + 1 — \sqrt[3]{3}$$

Слагаемые

$\sqrt[3]{9}$

и

$\sqrt[3]{3}$

сокращаются, и получаем:

$$-\sqrt[3]{27} + 1 = -3 + 1 = -2$$

Шаг 3: Итоговое выражение Итак, мы получаем:

$$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$$

Ответ:

$$\frac{1}{a^2}$$