ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 829 Алимов — Подробные Ответы

В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса (в граммах) распределена по закону m = 2l2 + 3l, где l — длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность:

1. в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;
2. в конце стержня.

Масса стержня распределена по закону:
$m(l) = 2l^2 + 3l;$

Линейная плотность тела:
$m'(l) = 2 \cdot (l^2)’ + (3l)’ = 2 \cdot 2l + 3 = 4l + 3;$

1. Плотность тела в точке, отстоящей от начала на $l = 3$ см:
   $m'(3) = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15 \, (\text{г/см});$
2. Плотность тела в конце стержня, то есть в точке $l = 25$ см:
   $m'(25) = 4 \cdot 25 + 3 = 100 + 3 = 103 \, (\text{г/см});$

Ответ: 1) 15 г/см; 2) 103 г/см.

Масса стержня распределена по закону:

$$m(l) = 2l^2 + 3l$$

где $l$ — это расстояние от начала стержня (например, в сантиметрах), а $m(l)$ — масса стержня в точке, которая отстоит от начала на расстояние $l$.

Нам нужно найти линейную плотность тела, которая определяется как производная массы по длине стержня. То есть нужно вычислить функцию $m'(l)$, а затем найти значения линейной плотности в определённых точках.

Шаг 1: Находим линейную плотность

Линейная плотность $m'(l)$ тела — это производная массы по длине стержня. Для функции $m(l)$ мы вычисляем производную по $l$.

Масса стержня дана функцией:

$$m(l) = 2l^2 + 3l$$

Используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $2l^2$:

$$\frac{d}{dl}(2l^2) = 2 \cdot 2l = 4l$$

Производная от $3l$:

$$\frac{d}{dl}(3l) = 3$$

Таким образом, линейная плотность тела $m'(l)$ будет:

$$m'(l) = 4l + 3$$

Это и есть выражение для линейной плотности тела.

Шаг 2: Находим плотность в точке $l = 3$ см

Теперь нам нужно найти линейную плотность в точке, которая отстоит от начала на $l = 3$ см. Подставим $l = 3$ в выражение для линейной плотности $m'(l) = 4l + 3$:

$$m'(3) = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15 \, \text{г/см}$$

Таким образом, линейная плотность в точке $l = 3$ см составляет $15 \, \text{г/см}$.

Шаг 3: Находим плотность в точке $l = 25$ см

Теперь нам нужно найти линейную плотность в точке, которая отстоит от начала на $l = 25$ см. Подставим $l = 25$ в выражение для линейной плотности $m'(l) = 4l + 3$:

$$m'(25) = 4 \cdot 25 + 3 = 100 + 3 = 103 \, \text{г/см}$$

Таким образом, линейная плотность в точке $l = 25$ см составляет $103 \, \text{г/см}$.

Ответ:

1. Линейная плотность в точке $l = 3$ см: $15 \, \text{г/см}$.
2. Линейная плотность в точке $l = 25$ см: $103 \, \text{г/см}$.

Итог:

1. Для нахождения линейной плотности тела мы нашли производную массы $m(l)$ по длине $l$, что дало выражение для плотности $m'(l) = 4l + 3$.
2. Подставив значение $l = 3$, мы нашли плотность на первом участке стержня.
3. Подставив значение $l = 25$, мы нашли плотность на другом участке стержня.