ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 825 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, при каких значениях х производная функции принимает положительные значения:

1. f (х) = х4 — 4х2 +1;
2. f (х) = 3х4 — 4х3 — 12х2 + 3;
3. f (х) = (х + 2)2 корень х;
4. f (х) = (х-3) корень х.

1. $f(x) = x^4 — 4x^2 + 1$;
$f'(x) = (x^4)’ — 4 \cdot (x^2)’ + (1)’$;
$f'(x) = 4x^3 — 4 \cdot 2x + 0$;
$f'(x) = 4x^3 — 8x$;

Производная положительна при:
$4x^3 — 8x > 0$;
$4x \cdot (x^2 — 2) > 0$;
$(x — \sqrt{2}) \cdot 4x \cdot (x + \sqrt{2}) > 0$;
$-\sqrt{2} < x < 0$ или $x > \sqrt{2}$;

Ответ: $x \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

2. $f(x) = 3x^4 — 4x^3 — 12x^2 + 3$;
$f'(x) = 3 \cdot (x^4)’ — 4 \cdot (x^3)’ — 12 \cdot (x^2)’ + (3)’$;
$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 3x^2 — 12 \cdot 2x + 0$;
$f'(x) = 12x^3 — 12x^2 — 24x$;
$f'(x) = 12x \cdot (x^2 — x — 2)$;

Разобьем многочлен на множители:
$x^2 — x — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

Производная положительна при:
$(x + 1) \cdot 12x \cdot (x — 2) > 0$;
$-1 < x < 0$ или $x > 2$;

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (2; +\infty)$.

3. $f(x) = (x + 2)^2 \cdot \sqrt{x}$;
$f'(x) = (x + 2)^2 \cdot (\sqrt{x})’ + (x + 2)^2 \cdot (\sqrt{x})’$;
$f'(x) = 2\sqrt{x} \cdot (x + 2) + \frac{(x + 2)^2}{2\sqrt{x}}$;
$f'(x) = \frac{4x(x + 2) + (x + 2)^2}{2\sqrt{x}}$;
$f'(x) = \frac{(x + 2)(4x + x + 2)}{2\sqrt{x}}$;
$f'(x) = \frac{(x + 2)(5x + 2)}{2\sqrt{x}}$;

Производная положительна при:
$(x + 2)(5x + 2) > 0$;
$x < -2$ или $x > -0.4$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

4. $f(x) = (x — 3) \cdot \sqrt{x}$;
$f'(x) = (x — 3)’ \cdot \sqrt{x} + (x — 3) \cdot (\sqrt{x})’$;
$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x — 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$;
$f'(x) = \frac{2x + x — 3}{2\sqrt{x}}$;
$f'(x) = \frac{3x — 3}{2\sqrt{x}}$;

Производная положительна при:
$3x — 3 > 0$;
$3(x — 1) > 0$;
$x — 1 > 0$;
$x > 1$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

Задача 1

Дана функция:

$$f(x) = x^4 — 4x^2 + 1$$

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $x^4$ (по правилу степенной функции $(x^n)’ = n \cdot x^{n-1}$):

$$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$$

Производная от $-4x^2$:

$$\frac{d}{dx}(-4x^2) = -4 \cdot 2x = -8x$$

Производная от постоянной 1 равна 0:

$$\frac{d}{dx}(1) = 0$$

Теперь, сложив все эти производные, получаем:

$$f'(x) = 4x^3 — 8x$$

Шаг 2: Находим, при каких значениях $x$ производная положительна

Нам нужно решить неравенство:

$$4x^3 — 8x > 0$$

Вынесем общий множитель:

$$4x(x^2 — 2) > 0$$

Теперь у нас есть произведение трёх факторов: $4x$, $(x — \sqrt{2})$, и $(x + \sqrt{2})$. Для того чтобы произведение было положительным, нужно, чтобы два из этих трёх факторов были положительными, а один — отрицательным.

Рассмотрим знаки каждого из множителей:

• $4x$ будет положительным при $x > 0$ и отрицательным при $x < 0$.
• $x^2 — 2 = (x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$, это произведение двух факторов. Оно будет положительным, когда $x > \sqrt{2}$ или $x < -\sqrt{2}$, и отрицательным, когда $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.

Сейчас рассмотрим возможные знаки произведения $4x \cdot (x — \sqrt{2}) \cdot (x + \sqrt{2})$.

Положительное произведение при:

• $-\sqrt{2} < x < 0$ или $x > \sqrt{2}$.

Таким образом, находим:

$$x \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$$

Задача 2

Дана функция:

$$f(x) = 3x^4 — 4x^3 — 12x^2 + 3$$

Шаг 1: Находим производную функции

Применяем стандартные правила дифференцирования:

Производная от $3x^4$:

$$\frac{d}{dx}(3x^4) = 12x^3$$

Производная от $-4x^3$:

$$\frac{d}{dx}(-4x^3) = -12x^2$$

Производная от $-12x^2$:

$$\frac{d}{dx}(-12x^2) = -24x$$

Производная от постоянной 3 равна 0:

$$\frac{d}{dx}(3) = 0$$

Сложим все эти производные:

$$f'(x) = 12x^3 — 12x^2 — 24x$$

Вынесем общий множитель:

$$f'(x) = 12x(x^2 — x — 2)$$

Шаг 2: Разбираем многочлен $x^2 — x — 2$ на множители

Чтобы найти, при каких значениях $x$ производная положительна, разложим квадратное уравнение на множители:

$$x^2 — x — 2 = (x + 1)(x — 2)$$

Теперь производная принимает вид:

$$f'(x) = 12x(x + 1)(x — 2)$$

Шаг 3: Находим, при каких значениях $x$ производная положительна

Нам нужно решить неравенство:

$$12x(x + 1)(x — 2) > 0$$

Проанализируем знаки каждого из множителей:

• $12x$ положительно при $x > 0$, отрицательно при $x < 0$.
• $(x + 1)$ положительно при $x > -1$, отрицательно при $x < -1$.
• $(x — 2)$ положительно при $x > 2$, отрицательно при $x < 2$.

Для того чтобы произведение было положительным, нужно, чтобы произведение трёх множителей было положительным, т.е. два множителя положительных, а один отрицательный:

• $-1 < x < 0$ или $x > 2$

Ответ:

$$x \in (-1; 0) \cup (2; +\infty)$$

Задача 3

Дана функция:

$$f(x) = (x + 2)^2 \cdot \sqrt{x}$$

Шаг 1: Находим производную функции

Для того чтобы найти производную, применим правило произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Где:

• $u(x) = (x + 2)^2$
• $v(x) = \sqrt{x}$

Производные:

1. $u'(x) = 2(x + 2)$
2. $v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставляем:

$$f'(x) = 2(x + 2)\sqrt{x} + (x + 2)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$f'(x) = \frac{4x(x + 2) + (x + 2)^2}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Находим, при каких значениях $x$ производная положительна

Нам нужно решить неравенство:

$$(x + 2)(5x + 2) > 0$$

Проанализировав знаки, получаем:

$$x < -2 \text{ или } x > -0.4$$

Кроме того, $f'(x)$ определена только при $x > 0$.

Ответ:

$$x \in (0; +\infty)$$

Задача 4

Дана функция:

$$f(x) = (x — 3) \cdot \sqrt{x}$$

Шаг 1: Находим производную функции

Применяем правило произведения:

$$f'(x) = (x — 3)’ \cdot \sqrt{x} + (x — 3) \cdot (\sqrt{x})’$$

Производные:

1. $(x — 3)’ = 1$
2. $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставляем:

$$f'(x) = \sqrt{x} + (x — 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$f'(x) = \frac{2x + x — 3}{2\sqrt{x}}$$ $$f'(x) = \frac{3x — 3}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Находим, при каких значениях $x$ производная положительна

Нам нужно решить неравенство:

$$3x — 3 > 0$$

Решение:

$$x > 1$$

Кроме того, $f'(x)$ определена только при $x > 0$.

Ответ:

$$x \in (1; +\infty)$$

Итоговое решение:

1. $x \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$
2. $x \in (-1; 0) \cup (2; +\infty)$
3. $x \in (0; +\infty)$
4. $x \in (1; +\infty)$