ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 82 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\frac{m^{\sqrt{3}} \cdot n^{\sqrt{3}}}{(mn)^{2 + \sqrt{3}}};$$

2)

$$\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7} + 1}}{(xy)^{\sqrt{7}}};$$

3)

$$(a^{\sqrt{2}} — b^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}});$$

4)

$$\left(2a^{-0.5} — \frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}} + 2a^{-0.5}\right).$$

1)

$$\frac{m^{\sqrt[3]{3}} \cdot n^{\sqrt[3]{3}}}{(mn)^{2 + \sqrt[3]{3}}} = \frac{(mn)^{\sqrt[3]{3}}}{(mn)^{2 + \sqrt[3]{3}}} = (mn)^{\sqrt[3]{3} — (2 + \sqrt[3]{3})} = (mn)^{-2} = \frac{1}{(mn)^2};$$

Ответ:

$\frac{1}{(mn)^2}$

.

2)

$$\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7} + 1}}{(xy)^{\sqrt{7}}} = \frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7} + 1}}{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}}} = x^{\sqrt{7} — \sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7} + 1 — \sqrt{7}} = x^0 \cdot y^1 = 1 \cdot y = y;$$

Ответ:

$y$

.

3)

$$\left(a^{\sqrt{2}} — b^{\sqrt{3}}\right)\left(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}\right) = \left(a^{\sqrt{2}}\right)^2 — \left(b^{\sqrt{3}}\right)^2 = a^{2\sqrt{2}} — b^{2\sqrt{3}};$$

Ответ:

$a^{2\sqrt{2}} — b^{2\sqrt{3}}$

.

4)

$$\left(2a^{-0.5} — \frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}} + 2a^{-0.5}\right) = \left(2a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 — \left(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}}\right)^2 =$$

$$= 4a^{-1} — \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{3}} = \frac{4}{a} — \frac{1}{9b^{2\sqrt{3}}};$$

Ответ:

$\frac{4}{a} — \frac{1}{9b^{2\sqrt{3}}}$

.

1)

$$\frac{m^{\sqrt[3]{3}} \cdot n^{\sqrt[3]{3}}}{(mn)^{2 + \sqrt[3]{3}}}$$

Преобразуем числитель:

$$m^{\sqrt[3]{3}} \cdot n^{\sqrt[3]{3}} = (mn)^{\sqrt[3]{3}}$$

Это сделано с использованием свойства степени:

$a^x \cdot b^x = (ab)^x$

.

Теперь, подставим это в исходное выражение:

$$\frac{(mn)^{\sqrt[3]{3}}}{(mn)^{2 + \sqrt[3]{3}}}$$

Используем свойство степеней

$\frac{a^x}{a^y} = a^{x — y}$

:

$$(mn)^{\sqrt[3]{3} — (2 + \sqrt[3]{3})}$$

Упростим показатель степени:

$$\sqrt[3]{3} — (2 + \sqrt[3]{3}) = \sqrt[3]{3} — 2 — \sqrt[3]{3} = -2$$

Таким образом, получаем:

$$(mn)^{-2} = \frac{1}{(mn)^2}$$

Ответ:

$\frac{1}{(mn)^2}$

.

2)

$$\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7} + 1}}{(xy)^{\sqrt{7}}}$$

Разделим числитель на знаменатель:

$$\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7} + 1}}{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}}}$$

Применим свойства степеней:

Для

$x^{\sqrt{7}}$

и

$x^{\sqrt{7}}$

применим

$\frac{a^x}{a^y} = a^{x — y}$

:

$$x^{\sqrt{7} — \sqrt{7}} = x^0 = 1$$

Для

$y^{\sqrt{7} + 1}$

и

$y^{\sqrt{7}}$

также применим

$\frac{a^x}{a^y} = a^{x — y}$

:

$$y^{\sqrt{7} + 1 — \sqrt{7}} = y^1 = y$$

Итак, выражение сводится к:

$$1 \cdot y = y$$

Ответ:

$y$

.

3)

$$\left(a^{\sqrt{2}} — b^{\sqrt{3}}\right)\left(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}\right)$$

Это произведение имеет вид разности квадратов

$(x — y)(x + y) = x^2 — y^2$

.

Применяем формулу разности квадратов:

$$\left(a^{\sqrt{2}}\right)^2 — \left(b^{\sqrt{3}}\right)^2$$

Вычислим степени:

$$\left(a^{\sqrt{2}}\right)^2 = a^{2\sqrt{2}}, \quad \left(b^{\sqrt{3}}\right)^2 = b^{2\sqrt{3}}$$

Таким образом, получаем:

$$a^{2\sqrt{2}} — b^{2\sqrt{3}}$$

Ответ:

$a^{2\sqrt{2}} — b^{2\sqrt{3}}$

.

4)

$$\left(2a^{-0.5} — \frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}} + 2a^{-0.5}\right)$$

Это произведение можно разложить, применив формулу

$(x — y)(x + y) = x^2 — y^2$

. Итак, рассматриваем:

$$\left(2a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 — \left(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}}\right)^2$$

Рассчитываем каждый из квадратов:

$\left(2a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 4a^{-1}$

$\left(\frac{1}{3}b^{-\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{3}}$

Таким образом, получаем:

$$4a^{-1} — \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{3}} = \frac{4}{a} — \frac{1}{9b^{2\sqrt{3}}}$$

Ответ:

$\frac{4}{a} — \frac{1}{9b^{2\sqrt{3}}}$

.

Итоговые ответы:

1. 
   $\frac{1}{(mn)^2}$ 
2. 
   $y$ 
3. 
   $a^{2\sqrt{2}} — b^{2\sqrt{3}}$ 
4. 
   $\frac{4}{a} — \frac{1}{9b^{2\sqrt{3}}}$