ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 819 Алимов — Подробные Ответы

1. $f(x) = \frac{x^2 — 4}{\sqrt{x}}$
2. $(\sqrt[4]{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}})(\sqrt[4]{x}-\frac{1}{\sqrt[4]{x}})$

1. $f(x) = \frac{x^2 — 4}{\sqrt{x}}$;

$f'(x) = \frac{(x^2 — 4)’ \cdot \sqrt{x} — (x^2 — 4) \cdot (\sqrt{x})’}{(\sqrt{x})^2}$;

$f'(x) = \frac{2x \sqrt{x} — \frac{x^2 — 4}{2 \sqrt{x}}}{x}$;

$f'(x) = \frac{4x^2 — x^2 + 4}{2 \sqrt{x}} : x = \frac{3x^2 + 4}{2x \sqrt{x}}$;

2. $f(x) = \left( \sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right) \left( \sqrt[4]{x} — \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right) = \sqrt{x} — \frac{1}{\sqrt{x}}$;

$f'(x) = \left( \sqrt{x} \right)’ — \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)’$;

$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} — \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot x^{-\frac{3}{2}}$;

$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2} \cdot x^{-1} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$;

$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2x \sqrt{x}} = \frac{x + 1}{2x \sqrt{x}}$

1) $f(x) = \frac{x^2 — 4}{\sqrt{x}}$

Для начала представим функцию $f(x)$ в более удобной форме для дифференцирования. В знаменателе у нас выражение $\sqrt{x}$, которое можно переписать как $x^{\frac{1}{2}}$. Таким образом, функция $f(x)$ примет вид:

$$f(x) = (x^2 — 4) \cdot x^{-\frac{1}{2}}$$

Теперь найдем производную $f'(x)$ с использованием правила произведения:

$$(f(x))’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

где:

• $u(x) = x^2 — 4$
• $v(x) = x^{-\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Находим производные частей

Производная от $u(x) = x^2 — 4$:

$$u'(x) = 2x$$

Производная от $v(x) = x^{-\frac{1}{2}}$:

$$v'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$$

Шаг 2: Применяем правило произведения

Теперь применяем правило произведения для нахождения производной:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем выражения для $u'(x)$, $v(x)$, $u(x)$ и $v'(x)$:

$$f'(x) = (2x) \cdot x^{-\frac{1}{2}} + (x^2 — 4) \cdot \left( -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \right)$$

Шаг 3: Упростим выражение

Для первого слагаемого:

$$2x \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}}$$

Для второго слагаемого:

$$(x^2 — 4) \cdot \left( -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \right) = -\frac{1}{2} (x^2 — 4) x^{-\frac{3}{2}}$$

Теперь это выражение можно переписать как:

$$-\frac{1}{2} (x^2 — 4) x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{x^2 — 4}{2x^{\frac{3}{2}}}$$

Таким образом, производная будет иметь вид:

$$f'(x) = 2x^{\frac{1}{2}} — \frac{x^2 — 4}{2x^{\frac{3}{2}}}$$

Шаг 4: Приведем к общему знаменателю

Для того чтобы объединить эти два слагаемых, нужно привести их к общему знаменателю. Для этого умножим первое слагаемое на $\frac{x}{x}$:

$$f'(x) = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{x} — \frac{x^2 — 4}{2x^{\frac{3}{2}}}$$

Теперь у нас общий знаменатель $2x^{\frac{3}{2}}$. Объединим оба слагаемых:

$$f'(x) = \frac{4x^2 — (x^2 — 4)}{2x^{\frac{3}{2}}}$$

Упростим числитель:

$$4x^2 — (x^2 — 4) = 4x^2 — x^2 + 4 = 3x^2 + 4$$

Таким образом, производная будет:

$$f'(x) = \frac{3x^2 + 4}{2x^{\frac{3}{2}}}$$

2) $f(x) = \left( \sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right) \left( \sqrt[4]{x} — \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right)$

Для упрощения сначала раскроем скобки:

$$f(x) = \left( \sqrt[4]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right) \left( \sqrt[4]{x} — \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right)$$

Это выражение имеет вид разности квадратов:

$$f(x) = \left( \sqrt[4]{x} \right)^2 — \left( \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \right)^2$$

Упростим:

$$f(x) = \sqrt{x} — \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Теперь мы видим, что $f(x) = \sqrt{x} — \frac{1}{\sqrt{x}}$, и нам нужно найти её производную.

Шаг 1: Находим производные каждой части

Производная от $\sqrt{x}$:

$$\frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Производная от $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$:

$$\frac{d}{dx} (x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$$

Шаг 2: Составляем производную

Теперь составим производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} — \left( -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \right)$$ $$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2} x^{-1} x^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 3: Упрощаем

Запишем второе слагаемое более компактно:

$$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2x \sqrt{x}}$$

Теперь привели к общему виду, и можем объединить слагаемые:

$$f'(x) = \frac{x + 1}{2x \sqrt{x}}$$