ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 814 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции:

1. (x2+x3+x)/(x+1);
2. ((корень x) + x2+1)/(x-1).

1.

$$f(x) = \frac{x^5 + x^3 + x}{x + 1};$$ $$f'(x) = \frac{(x^5 + x^3 + x)’ \cdot (x + 1) — (x^5 + x^3 + x) \cdot (x + 1)’}{(x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 1)(x + 1) — (x^5 + x^3 + x) \cdot 1}{(x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{5x^5 + 3x^3 + x + 5x^4 + 3x^2 + 1 — x^5 — x^3 — x}{(x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x + 1)^2}.$$

2.

$$f(x) = \frac{\sqrt{x} + x^2 + 1}{x — 1};$$ $$f'(x) = \frac{(\sqrt{x} + x^2 + 1)’ \cdot (x — 1) — (\sqrt{x} + x^2 + 1) \cdot (x — 1)’}{(x — 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x + 0 \right) \cdot (x — 1) — (\sqrt{x} + x^2 + 1) \cdot 1}{(x — 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{\frac{x}{2\sqrt{x}} + 2x^2 — \frac{1}{2\sqrt{x}} — 2x — \sqrt{x} — x^2 — 1}{(x — 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{x + 2x^2\sqrt{x} — 1 — 2x\sqrt{x} — 2x — 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x} \cdot (x — 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2\sqrt{x} \cdot (x^2 — 2x — 1) — x — 1}{2\sqrt{x} \cdot (x — 1)^2}.$$

1) $f(x) = \dfrac{x^5 + x^3 + x}{x + 1}$

Найдем производную по формуле производной дроби:

$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}, \quad \text{где } u(x) = x^5 + x^3 + x, \, v(x) = x + 1$$

Шаг 1: Найдём производные числителя и знаменателя

• $u(x) = x^5 + x^3 + x \Rightarrow u'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1$
• $v(x) = x + 1 \Rightarrow v'(x) = 1$

Шаг 2: Подставим в формулу производной дроби

$$f'(x) = \frac{(5x^4 + 3x^2 + 1)(x + 1) — (x^5 + x^3 + x) \cdot 1}{(x + 1)^2}$$

Шаг 3: Раскроем скобки в числителе

Умножим:

$$(5x^4 + 3x^2 + 1)(x + 1) = 5x^4(x + 1) + 3x^2(x + 1) + 1(x + 1)$$

Вычислим:

• $5x^4(x + 1) = 5x^5 + 5x^4$
• $3x^2(x + 1) = 3x^3 + 3x^2$
• $1(x + 1) = x + 1$

Складываем:

$$5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1$$

Теперь вычтем $(x^5 + x^3 + x)$:

$$5x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1 — x^5 — x^3 — x$$

Приводим подобные:

$$(5x^5 — x^5) + 5x^4 + (3x^3 — x^3) + 3x^2 + (x — x) + 1 = 4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1$$

Итог для первого примера:

$$f'(x) = \frac{4x^5 + 5x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1}{(x + 1)^2}$$

2) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x} + x^2 + 1}{x — 1}$

Опять применим правило производной дроби:

$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Где:

• $u(x) = \sqrt{x} + x^2 + 1$
• $v(x) = x — 1$

Шаг 1: Найдём производные

• $u'(x) = \left( \sqrt{x} \right)’ + (x^2)’ + (1)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x + 0$
• $v'(x) = (x — 1)’ = 1$

Шаг 2: Подставим в формулу производной дроби

$$f'(x) = \frac{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \right)(x — 1) — (\sqrt{x} + x^2 + 1) \cdot 1}{(x — 1)^2}$$

Шаг 3: Раскроем скобки в числителе

Умножим:

$$\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \right)(x — 1) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x — 1) + 2x(x — 1)$$

Считаем каждое:

• $\frac{1}{2\sqrt{x}}(x — 1) = \frac{x — 1}{2\sqrt{x}} = \frac{x}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $2x(x — 1) = 2x^2 — 2x$

Итак:

$$\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \right)(x — 1) = \frac{x}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 — 2x$$

Теперь вычитаем $\sqrt{x} + x^2 + 1$:

$$\left( \frac{x}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 — 2x \right) — (\sqrt{x} + x^2 + 1)$$

Раскроем скобки:

$$\frac{x}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^2 — 2x — \sqrt{x} — x^2 — 1$$

Группируем по типам:

• $\frac{x}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $-\sqrt{x}$
• $2x^2 — x^2 = x^2$
• $-2x$
• $-1$

Теперь преобразуем:

• $-\sqrt{x} = -\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$, чтобы привести к общему знаменателю с дробями

Тогда:

$$\frac{x}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{x — 1 — 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$

Полный числитель:

$$\frac{x — 1 — 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + x^2 — 2x — 1$$

Объединим под общим знаменателем:

$$\frac{x — 1 — 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x}(x^2 — 2x — 1)}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}(x^2 — 2x — 1) + x — 1 — 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$

Итог для второго примера:

$$f'(x) = \frac{2\sqrt{x}(x^2 — 2x — 1) — x — 1}{2\sqrt{x} \cdot (x — 1)^2}$$