ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 811 Алимов — Подробные Ответы

Найти f'(1), если:

1. f (х) — (х — 1)8 (2 — х)7;
2. f (x) = (2x — 1)5 (1 + x)4;
3. f(x) = корень (2-x) (3-2x)8;
4. f (x) = (5x -4)6 корень (3x-2).

1. $f(x)=(x-1{)}^8\cdot (2-x{)}^7$;

Производная функции:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-1{)}^8\cdot (2-x{)}^7+(x-1{)}^8\cdot (2-x{)}^7;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=8(x-1{)}^7\cdot (2-x{)}^7+(x-1{)}^8\cdot 7\cdot (-1)\cdot (2-x{)}^6;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=8(x-1{)}^7\cdot (2-x{)}^7-7(x-1{)}^8\cdot (2-x{)}^6;$$

Значение производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=8(1-1{)}^7\cdot (2-1{)}^7-7(1-1{)}^8\cdot (2-1{)}^6;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=8\cdot 0^7\cdot 1^7-7\cdot 0^8\cdot 1^6=0;$$

Ответ: $0$.

2. $f(x)=(2x-1{)}^5\cdot (1+x{)}^4$;

Производная функции:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2x-1{)}^5\cdot (1+x{)}^4+(2x-1{)}^5\cdot (1+x{)}^4;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=5\cdot 2\cdot (2x-1{)}^4\cdot (1+x{)}^4+(2x-1{)}^5\cdot 4\cdot (1+x{)}^3;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=10(2x-1{)}^4\cdot (1+x{)}^4+4(2x-1{)}^5\cdot (1+x{)}^3;$$

Значение производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=10(2\cdot 1-1{)}^4\cdot (1+1{)}^4+4(2\cdot 1-1{)}^5\cdot (1+1{)}^3;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=10\cdot 1^4\cdot 2^4+4\cdot 1^5\cdot 2^3;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=10\cdot 16+4\cdot 8=160+32=192;$$

Ответ: $192$.

3. $f(x)=\sqrt{2-x}\cdot (3-2x{)}^8$;

Производная функции:

$f(x)=\sqrt{2-x}\cdot (3-2x{)}^8$
$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot (-1)\cdot (2-x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (3-2x{)}^8+\sqrt{2-x}\cdot 8\cdot (-2)\cdot (3-2x{)}^7;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{(3-2x{)}^8}{2\sqrt{2-x}}-16\sqrt{2-x}\cdot (3-2x{)}^7;$$

Значение производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-\frac{(3-2\cdot 1{)}^8}{2\sqrt{2-1}}-16\sqrt{2-1}\cdot (3-2\cdot 1{)}^7;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-\frac{1^8}{2\sqrt{1}}-16\sqrt{1}\cdot 1^7=-\frac{1}{2}-16=-16,5;$$

Ответ: $-16,5$.

4. $f(x)=(5x-4{)}^6\cdot \sqrt{3x-2}$;

Производная функции:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(5x-4{)}^6\cdot (\sqrt{3x-2}{)}^{\mathrm{\prime }}+(5x-4{)}^6\cdot (\sqrt{3x-2});$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6\cdot 5(5x-4{)}^5\cdot \sqrt{3x-2}+(5x-4{)}^6\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\cdot (3x-2{)}^{-\frac{1}{2}};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=30(5x-4{)}^5\cdot \sqrt{3x-2}+\frac{3(5x-4{)}^6}{2\sqrt{3x-2}};$$

Значение производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=30(5\cdot 1-4{)}^5\cdot \sqrt{3\cdot 1-2}+\frac{3(5\cdot 1-4{)}^6}{2\sqrt{3\cdot 1-2}};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=30\cdot 1^5\cdot \sqrt{1}+\frac{3\cdot 1^6}{2\sqrt{1}}=30+\frac{3}{2}=31,5;$$

Ответ: $31,5$.

Задача 1

Функция:
$f(x)=(x-1{)}^8\cdot (2-x{)}^7$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования произведения

Для нахождения производной функции $f(x)$, которая является произведением двух функций, применяем правило дифференцирования произведения. Пусть $u(x)=(x-1{)}^8$ и $v(x)=(2-x{)}^7$.

Тогда по правилу производной произведения:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Шаг 2: Нахождение производных каждой из функций

Для функции $u(x)=(x-1{)}^8$ применим правило дифференцирования степени:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=8(x-1{)}^7$$

Для функции $v(x)=(2-x{)}^7$, используя цепное правило, получаем:

$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=7(2-x{)}^6\cdot (-1)=-7(2-x{)}^6$$

Шаг 3: Подстановка в формулу

Теперь подставим эти выражения для производных в формулу для производной произведения:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=8(x-1{)}^7\cdot (2-x{)}^7+(x-1{)}^8\cdot (-7)\cdot (2-x{)}^6$$

Шаг 4: Упрощение выражения

Приводим подобные члены:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=8(x-1{)}^7\cdot (2-x{)}^7-7(x-1{)}^8\cdot (2-x{)}^6$$

Шаг 5: Нахождение значения производной в точке $x=1$

Теперь подставим $x=1$ в полученную формулу для производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=8(1-1{)}^7\cdot (2-1{)}^7-7(1-1{)}^8\cdot (2-1{)}^6$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=8\cdot 0^7\cdot 1^7-7\cdot 0^8\cdot 1^6=0$$

Ответ:
$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$

Задача 2

Функция:
$f(x)=(2x-1{)}^5\cdot (1+x{)}^4$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования произведения

Используем правило дифференцирования произведения для функций $u(x)=(2x-1{)}^5$ и $v(x)=(1+x{)}^4$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Шаг 2: Нахождение производных каждой из функций

Для функции $u(x)=(2x-1{)}^5$, используя правило дифференцирования степени и цепное правило:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=5\cdot 2\cdot (2x-1{)}^4=10(2x-1{)}^4$$

Для функции $v(x)=(1+x{)}^4$, применяем стандартное правило дифференцирования степени:

$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=4(1+x{)}^3$$

Шаг 3: Подстановка в формулу

Подставляем полученные производные в формулу:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=10(2x-1{)}^4\cdot (1+x{)}^4+(2x-1{)}^5\cdot 4(1+x{)}^3$$

Шаг 4: Нахождение значения производной в точке $x=1$

Подставим $x=1$ в выражение для производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=10(2\cdot 1-1{)}^4\cdot (1+1{)}^4+(2\cdot 1-1{)}^5\cdot 4(1+1{)}^3$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=10\cdot 1^4\cdot 2^4+1^5\cdot 4\cdot 2^3$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=10\cdot 16+4\cdot 8=160+32=192$$

Ответ:
$f^{\mathrm{\prime }}(1)=192$

Задача 3

Функция:
$f(x)=\sqrt{2-x}\cdot (3-2x{)}^8$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования произведения

Используем правило дифференцирования произведения для функций $u(x)=\sqrt{2-x}$ и $v(x)=(3-2x{)}^8$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Шаг 2: Нахождение производных каждой из функций

Для функции $u(x)=\sqrt{2-x}$, применим правило дифференцирования степени и цепное правило:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot (-1)\cdot (2-x{)}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$$

Для функции $v(x)=(3-2x{)}^8$, применяем цепное правило:

$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=8\cdot (-2)\cdot (3-2x{)}^7=-16(3-2x{)}^7$$

Шаг 3: Подстановка в формулу

Теперь подставим эти выражения для производных в формулу:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\cdot (3-2x{)}^8-16\sqrt{2-x}\cdot (3-2x{)}^7$$

Шаг 4: Нахождение значения производной в точке $x=1$

Подставим $x=1$ в выражение для производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-\frac{(3-2\cdot 1{)}^8}{2\sqrt{2-1}}-16\sqrt{2-1}\cdot (3-2\cdot 1{)}^7$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-\frac{1^8}{2\sqrt{1}}-16\sqrt{1}\cdot 1^7=-\frac{1}{2}-16=-16,5$$

Ответ:
$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-16,5$

Задача 4

Функция:
$f(x)=(5x-4{)}^6\cdot \sqrt{3x-2}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования произведения

Используем правило дифференцирования произведения для функций $u(x)=(5x-4{)}^6$ и $v(x)=\sqrt{3x-2}$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Шаг 2: Нахождение производных каждой из функций

Для функции $u(x)=(5x-4{)}^6$, применяем правило дифференцирования степени:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=6\cdot 5\cdot (5x-4{)}^5=30(5x-4{)}^5$$

Для функции $v(x)=\sqrt{3x-2}$, применяем правило дифференцирования степени и цепное правило:

$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot (3x-2{)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}$$

Шаг 3: Подстановка в формулу

Теперь подставим эти выражения для производных в формулу:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=30(5x-4{)}^5\cdot \sqrt{3x-2}+(5x-4{)}^6\cdot \frac{3}{2\sqrt{3x-2}}$$

Шаг 4: Нахождение значения производной в точке $x=1$

Подставим $x=1$ в выражение для производной:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=30(5\cdot 1-4{)}^5\cdot \sqrt{3\cdot 1-2}+\frac{3(5\cdot 1-4{)}^6}{2\sqrt{3\cdot 1-2}}$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=30\cdot 1^5\cdot \sqrt{1}+\frac{3\cdot 1^6}{2\sqrt{1}}=30+\frac{3}{2}=31,5$$

Ответ:
$f^{\mathrm{\prime }}(1)=31,5$

Итоговые ответы:

1. $f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$
2. $f^{\mathrm{\prime }}(1)=192$
3. $f^{\mathrm{\prime }}(1)=-16,5$
4. $f^{\mathrm{\prime }}(1)=31,5$