ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 810 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции:

1. (х2 — х) (х3 + х);
2. (х + 2) корень х;
3. (x-1) корень x.

1. $f(x) = (x^2 — x)(x^3 + x);$

$f'(x) = (x^2 — x)’ \cdot (x^3 + x) + (x^2 — x) \cdot (x^3 + x)’;$

$f'(x) = (2x — 1)(x^3 + x) + (x^2 — x)(3x^2 + 1);$

$f'(x) = 2x^4 + 2x^2 — x^3 — x + 3x^4 + x^2 — 3x^3 — x;$

$f'(x) = 5x^4 — 4x^3 + 3x^2 — 2x;$

2. $f(x) = (x + 2) \cdot \sqrt[3]{x};$

$f'(x) = (x + 2)’ \cdot \sqrt[3]{x} + (x + 2) \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} \right)’;$

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt[3]{x} + (x + 2) \cdot \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}};$

$f'(x) = \sqrt[3]{x} + \frac{x + 2}{3 \sqrt[3]{x^2}} = \frac{3x + x + 2}{3 \sqrt[3]{x^2}} = \frac{4x + 2}{3 \sqrt[3]{x^2}};$

3. $f(x) = (x — 1) \cdot \sqrt{x};$

$f'(x) = (x — 1)’ \cdot \sqrt{x} + (x — 1) \cdot (\sqrt{x})’;$

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x — 1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}};$

$f'(x) = \sqrt{x} + \frac{x — 1}{2 \sqrt{x}} = \frac{2x + x — 1}{2 \sqrt{x}} = \frac{3x — 1}{2 \sqrt{x}};$

Задача 1

Функция:
$f(x) = (x^2 — x)(x^3 + x)$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования произведения.

Для дифференцирования произведения двух функций $u(x) = x^2 — x$ и $v(x) = x^3 + x$ используем правило дифференцирования произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Где:

• $u'(x) = (x^2 — x)’ = 2x — 1$
• $v'(x) = (x^3 + x)’ = 3x^2 + 1$

Шаг 2: Подстановка выражений для производных.

Подставляем значения производных в формулу:

$$f'(x) = (2x — 1)(x^3 + x) + (x^2 — x)(3x^2 + 1)$$

Шаг 3: Раскрытие скобок.

Теперь раскрываем скобки и приводим подобные члены:

$$f'(x) = (2x — 1)(x^3 + x) + (x^2 — x)(3x^2 + 1)$$ $$f'(x) = (2x \cdot x^3 + 2x \cdot x) — (1 \cdot x^3 + 1 \cdot x) + (x^2 \cdot 3x^2 + x^2 \cdot 1) — (x \cdot 3x^2 + x \cdot 1)$$

Подсчитаем каждое произведение:

$$f'(x) = (2x^4 + 2x^2) — (x^3 + x) + (3x^4 + x^2) — (3x^3 + x)$$

Шаг 4: Приведение подобных членов.

Теперь группируем подобные члены:

$$f'(x) = 2x^4 + 3x^4 + 2x^2 + x^2 — x^3 — 3x^3 — x — x$$ $$f'(x) = 5x^4 — 4x^3 + 3x^2 — 2x$$

Ответ:

$$f'(x) = 5x^4 — 4x^3 + 3x^2 — 2x$$

Задача 2

Функция:
$f(x) = (x + 2) \cdot \sqrt[3]{x}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования произведения.

Для дифференцирования произведения двух функций $u(x) = x + 2$ и $v(x) = x^{\frac{1}{3}}$, используем правило дифференцирования произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Где:

• $u'(x) = (x + 2)’ = 1$
• $v'(x) = \left( x^{\frac{1}{3}} \right)’ = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}$ (по правилу дифференцирования степени)

Шаг 2: Подстановка выражений для производных.

Теперь подставим эти выражения в формулу для производной:

$$f'(x) = 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} + (x + 2) \cdot \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 3: Упрощение выражения.

Первый член остается без изменений:

$$f'(x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} (x + 2) x^{-\frac{2}{3}}$$

Теперь можно объединить второй член, представив его в виде дроби:

$$f'(x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x + 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$$

Приведем первый член к общему знаменателю с использованием свойств степеней:

$$f'(x) = \frac{3x + x + 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} = \frac{4x + 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$$

Ответ:

$$f'(x) = \frac{4x + 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$$

Задача 3

Функция:
$f(x) = (x — 1) \cdot \sqrt{x}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования произведения.

Для дифференцирования произведения двух функций $u(x) = x — 1$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, используем правило дифференцирования произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Где:

• $u'(x) = (x — 1)’ = 1$
• $v'(x) = \left( x^{\frac{1}{2}} \right)’ = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$

Шаг 2: Подстановка выражений для производных.

Теперь подставляем эти выражения в формулу для производной:

$$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x} + (x — 1) \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 3: Упрощение выражения.

Первый член остается без изменений:

$$f'(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{2} (x — 1) x^{-\frac{1}{2}}$$

Теперь можно привести второй член в общий вид:

$$f'(x) = \sqrt{x} + \frac{x — 1}{2 \sqrt{x}}$$

Шаг 4: Приведение к общему знаменателю.

Чтобы объединить эти два члена, приведем их к общему знаменателю:

$$f'(x) = \frac{2x}{2 \sqrt{x}} + \frac{x — 1}{2 \sqrt{x}} = \frac{2x + x — 1}{2 \sqrt{x}} = \frac{3x — 1}{2 \sqrt{x}}$$

Ответ:

$$f'(x) = \frac{3x — 1}{2 \sqrt{x}}$$

Итоговые ответы:

1. $f'(x) = 5x^4 — 4x^3 + 3x^2 — 2x$
2. $f'(x) = \frac{4x + 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$
3. $f'(x) = \frac{3x — 1}{2 \sqrt{x}}$