ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 809 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно 0, если:

1. f (х) = х3 — 2х;
2. f (х) = -х2 + Зх + 1;
3. f (х) = 2х3 + Зх2 — 12х — 3;
4. f (х) = х3 + 2х2 — 7х + 1;
5. f(x) = Зх4 — 4х3 — 12х2;
6. f (х) = х4 + 4х3 — 8х2 — 5.

1. $f(x)=x^3-2x$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(2x{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-2$;
Производная равна нулю при:
$3x^2-2=0$;
$3x^2=2$;
$x^2=\frac{2}{3}$;
$x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}=\pm \sqrt{\frac{6}{9}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$;
Ответ: $\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2. $f(x)=-x^2+3x+1$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(3x+1{)}^{\mathrm{\prime }}=-2x+3$;
Производная равна нулю при:
$-2x+3=0$;
$2x=3$;
$x=\frac{3}{2}=1,5$;
Ответ: $1,5$.

3. $f(x)=2x^3+3x^2-12-3$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot (x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+3\cdot (x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(12+3{)}^{\mathrm{\prime }}$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot 3x^2+3\cdot 2x-12=6x^2+6x-12$;
Производная равна нулю при:
$6x^2+6x-12=0$;
$x^2+x-2=0$;
$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$, тогда:
$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2$ и $x_2=\frac{-1+3}{2}=1$;
Ответ: $-2;1$.

4. $f(x)=x^3+2x^2-7x+1$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+2\cdot (x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(7x-1{)}^{\mathrm{\prime }}$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\cdot x^2+2\cdot 2x-7=3x^2+4x-7$;
Производная равна нулю при:
$3x^2+4x-7=0$;
$D=4^2+4\cdot 3\cdot 7=16+84=100$, тогда:
$x_1=\frac{-4-10}{2\cdot 3}=\frac{-14}{6}=-\frac{7}{3}$ и $x_2=\frac{-4+10}{2\cdot 3}=1$;
Ответ: $-\frac{7}{3};1$.

5. $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\cdot (x^4{)}^{\mathrm{\prime }}-4\cdot (x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-12\cdot (x^2{)}^{\mathrm{\prime }}$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\cdot 4x^3-4\cdot 3x^2-12\cdot 2x=12x^3-12x^2-24x$;
Производная равна нулю при:
$12x^3-12x^2-24x=0$;
$12x\cdot (x^2-x-2)=0$;
Первое уравнение:
$12x=0$, отсюда $x=0$;
Второе уравнение:
$x^2-x-2=0$;
$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$, тогда:
$x_1=\frac{1-3}{2}=-1$ и $x_2=\frac{1+3}{2}=2$;
Ответ: $-1;0;2$.

6. $f(x)=x^4+4x^3-8x^2-5$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}+4\cdot (x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-8\cdot (x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(5{)}^{\mathrm{\prime }}$;
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+4\cdot 3x^2-8\cdot 2x-0=4x^3+12x^2-16x$;
Производная равна нулю при:
$4x^3+12x^2-16x=0$;
$4x\cdot (x^2+3x-4)=0$;
Первое уравнение:
$4x=0$, отсюда $x=0$;
Второе уравнение:
$x^2+3x-4=0$;
$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25$, тогда:
$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4$ и $x_2=\frac{-3+5}{2}=1$;
Ответ: $-4;0;1$.

Задача 1

Функция:
$f(x)=x^3-2x$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Чтобы найти производную этой функции, применим стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$, так как по правилу дифференцирования $(x^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n\cdot x^{n-1}$.
• Производная от $-2x$ — это $-2$, так как производная от $x$ равна 1, и множитель остается.

Итак, производная будет:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-(2x{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2-2$$

Шаг 2: Нахождение значений $x$, при которых производная равна нулю.

Нам нужно решить уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, то есть:

$$3x^2-2=0$$

Переносим $-2$ на правую сторону:

$$3x^2=2$$

Делим обе стороны на 3:

$$x^2=\frac{2}{3}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Ответ:
Производная равна нулю при $x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Задача 2

Функция:
$f(x)=-x^2+3x+1$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $-x^2$ — это $-2x$.
• Производная от $3x$ — это $3$.
• Производная от константы $1$ — это $0$.

Итак, производная будет:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(3x{)}^{\mathrm{\prime }}+(1{)}^{\mathrm{\prime }}=-2x+3$$

Шаг 2: Нахождение значений $x$, при которых производная равна нулю.

Нам нужно решить уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, то есть:

$$-2x+3=0$$

Переносим $3$ на правую сторону:

$$-2x=-3$$

Делим обе стороны на $-2$:

$$x=\frac{3}{2}=1,5$$

Ответ:
Производная равна нулю при $x=1,5$.

Задача 3

Функция:
$f(x)=2x^3+3x^2-12-3$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $2x^3$ — это $6x^2$.
• Производная от $3x^2$ — это $6x$.
• Производная от константы $-12$ — это $0$.
• Производная от константы $-3$ — это $0$.

Итак, производная будет:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot (x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+3\cdot (x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(12+3{)}^{\mathrm{\prime }}=6x^2+6x-12$$

Шаг 2: Нахождение значений $x$, при которых производная равна нулю.

Нам нужно решить уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, то есть:

$$6x^2+6x-12=0$$

Делим обе стороны на 6:

$$x^2+x-2=0$$

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:

$$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{-1+3}{2}=1$$

Ответ:
Производная равна нулю при $x=-2$ и $x=1$.

Задача 4

Функция:
$f(x)=x^3+2x^2-7x+1$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^3$ — это $3x^2$.
• Производная от $2x^2$ — это $4x$.
• Производная от $-7x$ — это $-7$.
• Производная от константы $1$ — это $0$.

Итак, производная будет:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+2\cdot (x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(7x{)}^{\mathrm{\prime }}+(1{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2+4x-7$$

Шаг 2: Нахождение значений $x$, при которых производная равна нулю.

Нам нужно решить уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, то есть:

$$3x^2+4x-7=0$$

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:

$$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-4-10}{6}=\frac{-14}{6}=-\frac{7}{3}\text{и}{x}_2=\frac{-4+10}{6}=\frac{6}{6}=1$$

Ответ:
Производная равна нулю при $x=-\frac{7}{3}$ и $x=1$.

Задача 5

Функция:
$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $3x^4$ — это $12x^3$.
• Производная от $-4x^3$ — это $-12x^2$.
• Производная от $-12x^2$ — это $-24x$.

Итак, производная будет:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\cdot (x^4{)}^{\mathrm{\prime }}-4\cdot (x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-12\cdot (x^2{)}^{\mathrm{\prime }}=12x^3-12x^2-24x$$

Шаг 2: Нахождение значений $x$, при которых производная равна нулю.

Нам нужно решить уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, то есть:

$$12x^3-12x^2-24x=0$$

Вынесем общий множитель $12x$:

$$12x\cdot (x^2-x-2)=0$$

Первое уравнение:

$$12x=0\Rightarrow x=0$$

Второе уравнение:

$$x^2-x-2=0$$

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{1-3}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{1+3}{2}=2$$

Ответ:
Производная равна нулю при $x=-1$, $x=0$ и $x=2$.

Задача 6

Функция:
$f(x)=x^4+4x^3-8x^2-5$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^4$ — это $4x^3$.
• Производная от $4x^3$ — это $12x^2$.
• Производная от $-8x^2$ — это $-16x$.
• Производная от константы $-5$ — это $0$.

Итак, производная будет:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}+4\cdot (x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-8\cdot (x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(5{)}^{\mathrm{\prime }}=4x^3+12x^2-16x$$

Шаг 2: Нахождение значений $x$, при которых производная равна нулю.

Нам нужно решить уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, то есть:

$$4x^3+12x^2-16x=0$$

Вынесем общий множитель $4x$:

$$4x\cdot (x^2+3x-4)=0$$

Первое уравнение:

$$4x=0\Rightarrow x=0$$

Второе уравнение:

$$x^2+3x-4=0$$

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4\text{и}{x}_2=\frac{-3+5}{2}=1$$

Ответ:
Производная равна нулю при $x=-4$, $x=0$ и $x=1$.

Итоговые ответы:

1. $\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$
2. $1,5$
3. $-2;1$
4. $-\frac{7}{3};1$
5. $-1;0;2$
6. $-4;0;1$