ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 808 Алимов — Подробные Ответы

Дифференцируема ли функция у = f (х) в точке x, если:

1. y=2/(x-1), x=1;
2. y=(3x-5)/(x-3)2, x=3;
3. y= корень (x+1) , x=0;
4. y= корень (5-x) , x=4.

$y = \frac{2}{x-1}$ и $x = 1$;
Выражение имеет смысл при:
$x — 1 \neq 0$;
$x \neq 1$;
Ответ: не дифференцируема.

$y = \frac{3x — 5}{(x-3)^2}$ и $x = 3$;
Выражение имеет смысл при:
$(x-3)^2 \neq 0$;
$x — 3 \neq 0$;
$x \neq 3$;
Ответ: не дифференцируема.

$y = \sqrt{x+1}$ и $x = 0$;
Выражение имеет смысл при:
$x + 1 \geq 0$;
$x \geq -1$;
Ответ: дифференцируема.

$y = \sqrt{5-x}$ и $x = 4$;
Выражение имеет смысл при:
$5 — x \geq 0$;
$5 \geq x$;
Ответ: дифференцируема.

Задача 1

Функция:
$y = \frac{2}{x-1}$ и $x = 1$

Шаг 1: Анализ области определения функции.

Для того чтобы функция $y = \frac{2}{x-1}$ имела смысл, знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно. То есть:

$$x — 1 \neq 0$$

Решая это неравенство:

$$x \neq 1$$

Таким образом, функция определена при всех $x$, кроме $x = 1$.

Шаг 2: Дифференцируемость функции в точке $x = 1$.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, она должна быть определена в этой точке и иметь конечную производную.

Поскольку $x = 1$ не принадлежит области определения функции, функция не может быть дифференцируема в точке $x = 1$, так как она вообще не определена в этой точке.

Ответ:
Функция не дифференцируема в точке $x = 1$.

Задача 2

Функция:
$y = \frac{3x — 5}{(x-3)^2}$ и $x = 3$

Шаг 1: Анализ области определения функции.

Для того чтобы функция $y = \frac{3x — 5}{(x-3)^2}$ имела смысл, знаменатель не должен быть равен нулю. То есть:

$$(x-3)^2 \neq 0$$

Решая это неравенство:

$$x — 3 \neq 0$$ $$x \neq 3$$

Таким образом, функция определена при всех $x$, кроме $x = 3$.

Шаг 2: Дифференцируемость функции в точке $x = 3$.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, она должна быть определена в этой точке и иметь конечную производную.

Поскольку $x = 3$ не принадлежит области определения функции, функция не может быть дифференцируема в точке $x = 3$, так как она вообще не определена в этой точке.

Ответ:
Функция не дифференцируема в точке $x = 3$.

Задача 3

Функция:
$y = \sqrt{x+1}$ и $x = 0$

Шаг 1: Анализ области определения функции.

Для того чтобы функция $y = \sqrt{x+1}$ имела смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в действительных числах. То есть:

$$x + 1 \geq 0$$

Решая это неравенство:

$$x \geq -1$$

Таким образом, функция определена при всех $x \geq -1$.

Шаг 2: Дифференцируемость функции в точке $x = 0$.

Чтобы проверить дифференцируемость функции в точке $x = 0$, нам нужно убедиться, что функция определена в этой точке и имеет конечную производную.

• Функция $y = \sqrt{x+1}$ определена при $x \geq -1$, следовательно, в точке $x = 0$ она определена.
• Чтобы проверить дифференцируемость, нужно проверить, существует ли производная функции в точке $x = 0$. Мы знаем, что производная от $\sqrt{x+1}$ существует и конечна на всей области определения функции, включая точку $x = 0$.

Таким образом, функция дифференцируема в точке $x = 0$.

Ответ:
Функция дифференцируема в точке $x = 0$.

Задача 4

Функция:
$y = \sqrt{5-x}$ и $x = 4$

Шаг 1: Анализ области определения функции.

Для того чтобы функция $y = \sqrt{5-x}$ имела смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в действительных числах. То есть:

$$5 — x \geq 0$$

Решая это неравенство:

$$x \leq 5$$

Таким образом, функция определена при всех $x \leq 5$.

Шаг 2: Дифференцируемость функции в точке $x = 4$.

Чтобы проверить дифференцируемость функции в точке $x = 4$, нам нужно убедиться, что функция определена в этой точке и имеет конечную производную.

• Функция $y = \sqrt{5 — x}$ определена при $x \leq 5$, следовательно, в точке $x = 4$ она определена.
• Производная от $\sqrt{5 — x}$ существует и конечна на всей области определения функции, включая точку $x = 4$.

Таким образом, функция дифференцируема в точке $x = 4$.

Ответ:
Функция дифференцируема в точке $x = 4$.

Итоговый ответ:

1. Функция не дифференцируема в точке $x = 1$.
2. Функция не дифференцируема в точке $x = 3$.
3. Функция дифференцируема в точке $x = 0$.
4. Функция дифференцируема в точке $x = 4$.