ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 80 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (80-83).

1. a1/9 корень 6 степени a корень 3 степени a;
2. b1/12 корень 3 степени b корень 4 степени b;
3. (корень 3 степени ab^-2 + (ab)^-1/6) корень 6 степени ab4;
4. (корень 3 степени a + корень 3 степени b) (a2/3 + b2/3 — корень 3 степени ab).

1)

$$a^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[6]{a^{3} \sqrt[3]{a}} = a^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[6]{a^3 \cdot a^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{1}{9}} \cdot a^{\frac{3}{6}} \cdot a^{\frac{1}{18}} = a^{\frac{1}{9} + \frac{3}{6} + \frac{1}{18}} =$$

$$= a^{\frac{2}{18} + \frac{9}{18} + \frac{1}{18}} = a^{\frac{12}{18}} = a^{\frac{1}{3}};$$

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$

2)

$$b^{\frac{1}{12}} \cdot \sqrt[3]{b^4 \sqrt{b}} = b^{\frac{1}{12}} \cdot \sqrt[3]{b^4 \cdot b^{\frac{1}{2}}} = b^{\frac{1}{12}} \cdot b^{\frac{4}{3}} \cdot b^{\frac{1}{12}} = b^{\frac{1}{12} + \frac{4}{3} + \frac{1}{12}} =$$

$$= b^{\frac{1}{12} + \frac{16}{12} + \frac{1}{12}} = b^{\frac{18}{12}} = b^{\frac{1}{2}};$$

Ответ: $b^{\frac{1}{2}}$

3)

$$\left(\sqrt[3]{ab^{-2}} + (ab)^{-6}\right) \cdot \sqrt[6]{ab^4} = \left(a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{-\frac{2}{3}} + a^{-6} \cdot b^{-6}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{4}{6}}\right) =$$

$$= a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} \cdot b^{-\frac{2}{3} + \frac{4}{6}} + a^{-6 + \frac{1}{6}} \cdot b^{-6 + \frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{-4}{6} + \frac{4}{6}} + a^0 \cdot b^{\frac{3}{6}} =$$

$$= a^{\frac{3}{6}} \cdot b^0 + 1 \cdot b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}};$$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$

4)

$$\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(a^2 + b^2 — \sqrt[3]{ab}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2\right) =$$

$$= \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3 = a + b;$$

Ответ: $a + b$

1) $a^{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[6]{a^{3} \sqrt[3]{a}}$

Шаг 1: Распишем выражение.

Начнем с того, что можем переписать корень $\sqrt[6]{a^{3} \sqrt[3]{a}}$ как $\sqrt[6]{a^3 \cdot a^{\frac{1}{3}}}$

$$\sqrt[6]{a^{3} \sqrt[3]{a}} = \sqrt[6]{a^3 \cdot a^{\frac{1}{3}}}$$

Шаг 2: Упростим степень внутри корня.

Используем свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

$$a^3 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{3 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{3} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{10}{3}}$$

Теперь у нас есть:

$$\sqrt[6]{a^{\frac{10}{3}}}$$

Шаг 3: Применим свойство корней. Если $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, то:

$$\sqrt[6]{a^{\frac{10}{3}}} = a^{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{6}} = a^{\frac{10}{18}} = a^{\frac{5}{9}}$$

Шаг 4: Умножим на $a^{\frac{1}{9}}$

Теперь у нас исходное выражение:

$$a^{\frac{1}{9}} \cdot a^{\frac{5}{9}} = a^{\frac{1}{9} + \frac{5}{9}} = a^{\frac{6}{9}} = a^{\frac{2}{3}}$$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$

2) $b^{\frac{1}{12}} \cdot \sqrt[3]{b^4 \sqrt{b}}$

Шаг 1: Распишем корень $\sqrt[3]{b^4 \sqrt{b}}$

Мы знаем, что $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$, так что:

$$\sqrt[3]{b^4 \cdot b^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{b^{4 + \frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{b^{\frac{8}{2} + \frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{b^{\frac{9}{2}}}$$

Шаг 2: Применим свойство корней.

$$\sqrt[3]{b^{\frac{9}{2}}} = b^{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{9}{6}} = b^{\frac{3}{2}}$$

Шаг 3: Умножим на $b^{\frac{1}{12}}$

Теперь у нас:

$$b^{\frac{1}{12}} \cdot b^{\frac{3}{2}} = b^{\frac{1}{12} + \frac{18}{12}} = b^{\frac{19}{12}}$$

Ответ: $b^{\frac{19}{12}}$

3) $\left(\sqrt[3]{ab^{-2}} + (ab)^{-6}\right) \cdot \sqrt[6]{ab^4}$

Шаг 1: Распишем каждое выражение.

Рассмотрим первое выражение $\sqrt[3]{ab^{-2}}$:

$$\sqrt[3]{ab^{-2}} = a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{-\frac{2}{3}}$$

Теперь второе выражение $(ab)^{-6}$:

$$(ab)^{-6} = a^{-6} \cdot b^{-6}$$

Теперь у нас:

$$\left(a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{-\frac{2}{3}} + a^{-6} \cdot b^{-6}\right)$$

Шаг 2: Умножим на $\sqrt[6]{ab^4}$

Распишем корень:

$$\sqrt[6]{ab^4} = a^{\frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{2}{3}}$$

Теперь умножим:

$$\left(a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{-\frac{2}{3}} + a^{-6} \cdot b^{-6}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{2}{3}}\right)$$

Шаг 3: Раскроем скобки.

Первое слагаемое:

$$a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$$

$$b^{-\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} = b^{-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} = b^0 = 1$$

Итак, первое слагаемое даёт $a^{\frac{1}{2}}$

Второе слагаемое:

$$a^{-6} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{-6 + \frac{1}{6}} = a^{-\frac{36}{6} + \frac{1}{6}} = a^{-\frac{35}{6}}$$

$$b^{-6} \cdot b^{\frac{2}{3}} = b^{-6 + \frac{2}{3}} = b^{-\frac{18}{3} + \frac{2}{3}} = b^{-\frac{16}{3}}$$

Ответ: У нас получаются два слагаемых:$$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{35}{6}} \cdot b^{-\frac{16}{3}}$$

4) $\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(a^2 + b^2 — \sqrt[3]{ab}\right)$

Шаг 1: Распишем выражения.

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$, и $\sqrt[3]{ab} = (ab)^{\frac{1}{3}}$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^2 + b^2 — (ab)^{\frac{1}{3}}\right)$$

Шаг 2: Раскроем скобки.

Мы видим, что произведение первой и второй скобок даёт:

$$a + b$$

Ответ: $a + b$