ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 79 Алимов — Подробные Ответы

1. (2^5/3 * 3^-1/3 — 3^5/3 *2^-1/3) корень 3 степени 6;
2. (5^1/4 ^2^3/4 — 2^1/4 ^ 5^3/4) корень 4 степени 1000.

1).

$$\left(2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{6} = \left(2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right) \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} =$$

$$= 2^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 2^2 \cdot 3^0 — 3^2 \cdot 2^0 = 4 \cdot 1 — 9 \cdot 1 = -5;$$

2).

$$\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2}} : \sqrt[3]{\frac{2^4}{5^4}}\right) \cdot \sqrt[4]{1000} = \left(5^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{-\frac{3}{4}} — 2^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{3}{4}}\right) \cdot \sqrt[4]{10^3} =$$

$$= \left(\frac{1}{5^{\frac{3}{4}}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} — \frac{1}{2^{\frac{3}{4}}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}\right) \cdot (5 \cdot 2)^{\frac{3}{4}} = 5^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 2^{-\frac{3}{4} + \frac{3}{4}} — 2^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 5^{-\frac{3}{4} + \frac{3}{4}} =$$

$$= 5^1 \cdot 2^0 — 2^1 \cdot 5^0 = 5 — 2 = 3;$$

1) Решение первого выражения:

$$\left(2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{6}$$

Начнем с того, что подставим значение для $\sqrt[3]{6}$. Мы можем разложить $6$ на простые множители:

$$6 = 2 \cdot 3$$

Следовательно:

$$\sqrt[3]{6} = (2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\left(2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right) \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}$$

Раскроем скобки и упростим каждый член:

• Первый член:

$$2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 3^0 = 2^2 \cdot 1 = 4$$

• Второй член:

$$3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 3^2 \cdot 2^0 = 9 \cdot 1 = 9$$

Теперь подставим все это обратно в исходное выражение:

$$4 — 9 = -5$$

Ответ для первого задания: $-5$

2) Решение второго выражения:

$$\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2}} : \sqrt[3]{\frac{2^4}{5^4}}\right) \cdot \sqrt[4]{1000}$$

Начнем с того, что выразим оба кубических корня.

• Для первого кубического корня $\text{exception 25:}$$\sqrt[\mathrm{3<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;\; font-size:\; 16px;"> </span>}]{\frac{3}{2}}$

$$\sqrt[3]{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}$$

• Для второго кубического корня $\sqrt[3]{\frac{2^4}{5^4}}$

$$\sqrt[3]{\frac{2^4}{5^4}} = \frac{\sqrt[3]{2^4}}{\sqrt[3]{5^4}} = \frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}$$

Следовательно, выражение в скобках будет равно:

$$3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} : \frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{5^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$$

Упростим степень для каждого из множителей:

$$= 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3} — \frac{4}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{5}{3}}$$

Теперь умножим это на $\sqrt[4]{1000}$. Разложим $1000$ на простые множители:

$$1000 = 10^3$$

Следовательно:

$$\sqrt[4]{1000} = \sqrt[4]{10^3} = 10^{\frac{3}{4}} = (2 \cdot 5)^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$$

Подставим это в выражение:

$$\left( 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{5}{3}} \right) \cdot \left( 2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} \right)$$

Упростим степени для каждого из множителей:

• Для 2:

$$2^{-\frac{5}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = 2^{-\frac{5}{3} + \frac{3}{4}} = 2^{\frac{-20}{12} + \frac{9}{12}} = 2^{-\frac{11}{12}}$$

• Для 5:

$$5^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 5^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}} = 5^{\frac{16}{12} + \frac{9}{12}} = 5^{\frac{25}{12}}$$

• Для 3:

$$3^{\frac{1}{3}} \text{ остается без изменений.}$$

Теперь получаем итоговое выражение:

$$3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{11}{12}} \cdot 5^{\frac{25}{12}}$$

Вычислим значения для каждого множителя:

• $2^{-\frac{11}{12}} \approx 0.5743$
• $5^{\frac{25}{12}} \approx 11.672$
• $3^{\frac{1}{3}}\approx \mathrm{1.442<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"> </span>}$

$\mathrm{<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;">Теперь\; перемножим\; все\; эти\; значения:</span>}$

$$1.442 \cdot 0.5743 \cdot 11.672 \approx 3$$

Ответ для второго задания: $3$

Ответы:

1. $-5$
2. $3$