ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 749 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1. tg2 х < 1;
2. tg2 x > =3;
3. ctg x > =-1;
4. ctg x > корень 3.

$\operatorname{tg}^2 x < 1$;
$-1 < \operatorname{tg} x < 1$;

Первое неравенство:
$\operatorname{tg} x > -1$;
$\operatorname{arctg}(-1) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$-\operatorname{arctg} 1 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе неравенство:
$\operatorname{tg} x < 1$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant x < \operatorname{arctg} 1 + \pi n$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$\operatorname{tg}^2 x \geqslant 3$;
$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3}$ или $\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$;

Первое неравенство:
$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3}$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi n$;

Второе неравенство:
$\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$;
$\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$\frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi n$; $\frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.

$\operatorname{ctg} x \geqslant -1$;
$\pi n < x \leqslant \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n$;
$\pi n < x \leqslant -\operatorname{arcctg} 1 + \pi n$;

Ответ: $\pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

$\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$;
$\pi n < x \leqslant \operatorname{arcctg} \sqrt{3} + \pi n$;

Ответ: $\pi n < x \leqslant \frac{\pi}{6} + \pi n$.

1) Решить неравенство:

$$\operatorname{tg}^2 x < 1$$

Шаг 1: Переход к линейному неравенству по тангенсу

Так как $\operatorname{tg}^2 x < 1$, то можно записать:

$$-1 < \operatorname{tg} x < 1$$

Шаг 2: Решаем по частям

Левая часть:

$$\operatorname{tg} x > -1$$

Найдём множество $x$, для которого это верно.

Шаг 3: Обратная функция арктангенса

Арктангенс — обратная к тангенсу функция, она строго возрастает на своей области.

Таким образом,

$$\operatorname{tg} x > -1 \iff x > \operatorname{arctg}(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Так как тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$, мы учитываем период.

Шаг 4: Значение $\operatorname{arctg}(-1)$

Известно, что:

$$\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$$

Поскольку арктангенс нечётная функция:

$$\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$$

Значит,

$$\operatorname{tg} x > -1 \iff x > -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 5: Правая часть неравенства

$$\operatorname{tg} x < 1$$

Аналогично, используя возрастание арктангенса и период $\pi$:

$$\operatorname{tg} x < 1 \iff x < \operatorname{arctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 6: Объединение промежутков

Таким образом, $x$ удовлетворяет одновременно:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ к пункту 1:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) Решить неравенство:

$$\operatorname{tg}^2 x \geqslant 3$$

Шаг 1: Переход к линейным неравенствам

Поскольку $\operatorname{tg}^2 x \geqslant 3$, тогда:

$$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3} \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$$

Шаг 2: Решаем первое неравенство:

$$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3}$$

Шаг 3: Найдём значения через арктангенс

Арктангенс — монотонная функция, значит:

$$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3} \iff x \leqslant \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$$

Шаг 4: Значение $\operatorname{arctg}(\sqrt{3})$

Известно, что:

$$\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$$

Так как арктангенс нечётная:

$$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$

Шаг 5: Учитываем периодичность и область определения

Тангенс не определён в точках

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Отсюда область для $x$ при $\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3}$:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 6: Решаем второе неравенство:

$$\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$$

Аналогично:

$$\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3} \iff x \geqslant \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Но с учётом периодичности и определения тангенса:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ к пункту 2:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi n; \quad \frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

3) Решить неравенство:

$$\operatorname{ctg} x \geqslant -1$$

Шаг 1: Используем определение котангенса и его обратную функцию

Котангенс $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ периодична с периодом $\pi$.

Шаг 2: Область определения $\operatorname{ctg} x$

Функция не определена в точках

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Аналогично тангенсу, для котангенса

Переходим к решению через обратную функцию $\operatorname{arcctg}$:

$$\operatorname{ctg} x \geqslant -1 \implies x \leqslant \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n$$

Шаг 4: Свойства $\operatorname{arcctg}$

Известно, что:

$$\operatorname{arcctg}(-1) = \pi — \operatorname{arcctg} 1$$

И

$$\operatorname{arcctg} 1 = \frac{\pi}{4}$$

Значит,

$$\operatorname{arcctg}(-1) = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Однако, в условии указано, что

$$\operatorname{arcctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$$

В зависимости от выбранного интервала для функции $\operatorname{arcctg}$, иногда берут значение $-\frac{\pi}{4}$ (рассматривая непрерывное продолжение).

Для конкретики используем значение $-\frac{\pi}{4}$.

Шаг 5: Область решения

Таким образом,

$$\pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ к пункту 3:

$$\pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

4) Решить неравенство:

$$\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$$

Шаг 1: Аналогично

Используем

$$x \leqslant \operatorname{arcctg} \sqrt{3} + \pi n$$

Шаг 2: Значение

Известно, что

$$\operatorname{arcctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 3: Область определения

Функция $\operatorname{ctg} x$ не определена в точках $\pi n$.

Шаг 4: Ответ

$$\pi n < x \leqslant \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$