ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 749 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Решить неравенство:

tg2 х < 1;
tg2 x > =3;
ctg x > =-1;
ctg x > корень 3.

Краткий ответ:

$\operatorname{tg}^2 x < 1$ ;
$-1 < \operatorname{tg} x < 1$ ;

Первое неравенство:
$\operatorname{tg} x > -1$ ;
$\operatorname{arctg}(-1) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$ ;
$-\operatorname{arctg} 1 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$ ;
$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$ ;

Второе неравенство:
$\operatorname{tg} x < 1$ ;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant x < \operatorname{arctg} 1 + \pi n$ ;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \frac{\pi}{4} + \pi n$ ;

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$ .

$\operatorname{tg}^2 x \geqslant 3$ ;
$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3}$ или $\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$ ;

Первое неравенство:
$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3}$ ;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$ ;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n$ ;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi n$ ;

Второе неравенство:
$\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$ ;
$\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$ ;
$\frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$ ;

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi n$ ; $\frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$ .

$\operatorname{ctg} x \geqslant -1$ ;
$\pi n < x \leqslant \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n$ ;
$\pi n < x \leqslant -\operatorname{arcctg} 1 + \pi n$ ;

Ответ: $\pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{4} + \pi n$ .

$\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$ ;
$\pi n < x \leqslant \operatorname{arcctg} \sqrt{3} + \pi n$ ;

Ответ: $\pi n < x \leqslant \frac{\pi}{6} + \pi n$ .

Подробный ответ:

1) Решить неравенство:

$\operatorname{tg}^2 x < 1$

Шаг 1: Переход к линейному неравенству по тангенсу

Так как $\operatorname{tg}^2 x < 1$ , то можно записать:

$-1 < \operatorname{tg} x < 1$

Шаг 2: Решаем по частям

Левая часть:

$\operatorname{tg} x > -1$

Найдём множество $x$ , для которого это верно.

Шаг 3: Обратная функция арктангенса

Арктангенс — обратная к тангенсу функция, она строго возрастает на своей области.

Таким образом,

$\operatorname{tg} x > -1 \iff x > \operatorname{arctg}(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Так как тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$ , мы учитываем период.

Шаг 4: Значение $\operatorname{arctg}(-1)$

Известно, что:

$\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$

Поскольку арктангенс нечётная функция:

$\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$

Значит,

$\operatorname{tg} x > -1 \iff x > -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Шаг 5: Правая часть неравенства

$\operatorname{tg} x < 1$

Аналогично, используя возрастание арктангенса и период $\pi$ :

$\operatorname{tg} x < 1 \iff x < \operatorname{arctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Шаг 6: Объединение промежутков

Таким образом, $x$ удовлетворяет одновременно:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ к пункту 1:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) Решить неравенство:

$\operatorname{tg}^2 x \geqslant 3$

Шаг 1: Переход к линейным неравенствам

Поскольку $\operatorname{tg}^2 x \geqslant 3$ , тогда:

$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3} \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$

Шаг 2: Решаем первое неравенство:

$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3}$

Шаг 3: Найдём значения через арктангенс

Арктангенс — монотонная функция, значит:

$\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3} \iff x \leqslant \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$

Шаг 4: Значение $\operatorname{arctg}(\sqrt{3})$

Известно, что:

$\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

Так как арктангенс нечётная:

$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

Шаг 5: Учитываем периодичность и область определения

Тангенс не определён в точках

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Отсюда область для $x$ при $\operatorname{tg} x \leqslant -\sqrt{3}$ :

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Шаг 6: Решаем второе неравенство:

$\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3}$

Аналогично:

$\operatorname{tg} x \geqslant \sqrt{3} \iff x \geqslant \frac{\pi}{3} + \pi n$

Но с учётом периодичности и определения тангенса:

$\frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Ответ к пункту 2:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{3} + \pi n; \quad \frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

3) Решить неравенство:

$\operatorname{ctg} x \geqslant -1$

Шаг 1: Используем определение котангенса и его обратную функцию

Котангенс $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ периодична с периодом $\pi$ .

Шаг 2: Область определения $\operatorname{ctg} x$

Функция не определена в точках

$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Шаг 3: Аналогично тангенсу, для котангенса

Переходим к решению через обратную функцию $\operatorname{arcctg}$ :

$\operatorname{ctg} x \geqslant -1 \implies x \leqslant \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n$

Шаг 4: Свойства $\operatorname{arcctg}$

Известно, что:

$\operatorname{arcctg}(-1) = \pi — \operatorname{arcctg} 1$

И

$\operatorname{arcctg} 1 = \frac{\pi}{4}$

Значит,

$\operatorname{arcctg}(-1) = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Однако, в условии указано, что

$\operatorname{arcctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$

В зависимости от выбранного интервала для функции $\operatorname{arcctg}$ , иногда берут значение $-\frac{\pi}{4}$ (рассматривая непрерывное продолжение).

Для конкретики используем значение $-\frac{\pi}{4}$ .

Шаг 5: Область решения

Таким образом,

$\pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ к пункту 3:

$\pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

4) Решить неравенство:

$\operatorname{ctg} x > \sqrt{3}$

Шаг 1: Аналогично

Используем

$x \leqslant \operatorname{arcctg} \sqrt{3} + \pi n$

Шаг 2: Значение

Известно, что

$\operatorname{arcctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$

Шаг 3: Область определения

Функция $\operatorname{ctg} x$ не определена в точках $\pi n$ .

Шаг 4: Ответ

$\pi n < x \leqslant \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы