ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 74 Алимов — Подробные Ответы

1. a корень 2 * a^(1-корень 2);
2. a (корень 3) — 1 * a(корень 3) +1;
3. (b корень 3)корень 3 : b2.

1. $a^{\sqrt{2}}\cdot a^{1-\sqrt{2}}=a^{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}}=a^1=a$Ответ: a
2. $a^{\sqrt{3}-1}\cdot a^{\sqrt{3}+1}=a^{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1}=a^{2\sqrt{3}}$Ответ: $a^{2\sqrt{3}}$
3. $\left(b^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}} : b^2 = b^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} : b^2 = b^{\sqrt{3^2}} : b^2 = b^3 : b^2 = b^{3-2} = b^1 = b$Ответ: $b$

Пример 1: $a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1 — \sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + 1 — \sqrt{2}} = a^1 = a$

Шаг 1: Применение свойства степеней

• Имеем произведение двух степеней с одинаковым основанием $a$. Для произведения степеней с одинаковым основанием используем свойство степеней:

  $$a^m \cdot a^n = a^{m + n}.$$

• В данном случае:

  $$a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1 — \sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + (1 — \sqrt{2})}.$$

Шаг 2: Упрощение показателей степени

• Теперь упрощаем показания степеней:

  $$\sqrt{2} + (1 — \sqrt{2}) = \sqrt{2} — \sqrt{2} + 1 = 0 + 1 = 1.$$

• Получаем:

  $$a^1 = a.$$

Шаг 3: Итог

• Ответ: $a$.

Пример 2: $a^{\sqrt{3} — 1} \cdot a^{\sqrt{3} + 1} = a^{\sqrt{3} — 1 + \sqrt{3} + 1} = a^{2\sqrt{3}}$

Шаг 1: Применение свойства степеней

• Также, как и в первом примере, у нас произведение степеней с одинаковым основанием $a$. Используем свойство степеней:

  $$a^m \cdot a^n = a^{m + n}.$$

• В данном случае:

  $$a^{\sqrt{3} — 1} \cdot a^{\sqrt{3} + 1} = a^{(\sqrt{3} — 1) + (\sqrt{3} + 1)}.$$

Шаг 2: Упрощение показателей степени

• Складываем показатели степени:

  $$\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}, \quad -1 + 1 = 0.$$

• Получаем:

  $$a^{2\sqrt{3}}.$$

Шаг 3: Итог

• Ответ: $a^{2\sqrt{3}}$.

Пример 3: $\left( b^{\sqrt{3}} \right)^{\sqrt{3}} : b^2 = b^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} : b^2 = b^3 : b^2 = b^{3 — 2} = b^1 = b$

Шаг 1: Применение свойств степеней

• Рассмотрим выражение $\left( b^{\sqrt{3}} \right)^{\sqrt{3}}$. Используем свойство степени:

  $$(b^m)^n = b^{m \cdot n}.$$

  • В нашем случае:

  $$\left( b^{\sqrt{3}} \right)^{\sqrt{3}} = b^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = b^3.$$

• Таким образом, выражение преобразуется в:

  $$b^3 : b^2.$$

Шаг 2: Применение свойства деления степеней

• Для деления степеней с одинаковым основанием $b^m : b^n = b^{m — n}$, используем это свойство:

  $$b^3 : b^2 = b^{3 — 2} = b^1 = b.$$

Шаг 3: Итог

• Ответ: $b$.

В каждом примере мы использовали:

1. Свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$.
2. Свойство степени в степени $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$.
3. Свойство деления степеней с одинаковым основанием $b^m : b^n = b^{m — n}$.