ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 734 Алимов — Подробные Ответы

(Устно.) Выяснить, является ли функция у = tg х возрастающей на промежутке:

1. [пи/4; пи/3];
2. (пи/2; пи);
3. (-пи/2; пи/8);
4. [2;3].

1. Дана функция:
   $y = \operatorname{tg} x$
   Выясним, является ли она возрастающей на промежутке $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right]$.
   Решение.
   На промежутке $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right]$ функция возрастает.
   Ответ: возрастает.
2. Дана функция:
   $y = \operatorname{tg} x$
   Выясним, является ли она возрастающей на промежутке $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$.
   Решение.
   На промежутке $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$ функция возрастает.
   Ответ: возрастает.
3. Дана функция:
   $y = \operatorname{tg} x$
   Выясним, является ли она возрастающей на промежутке $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8} \right)$.
   Решение.
   На промежутке $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8} \right)$ функция возрастает.
   Ответ: возрастает.
4. Дана функция:
   $y = \operatorname{tg} x$
   Выясним, является ли она возрастающей на промежутке $[2; 3]$.
   Решение.
   На промежутке $[2; 3]$ функция возрастает.
   Ответ: возрастает.

1) Дана функция:

$$y = \tan x$$

Задача: Выяснить, является ли функция возрастающей на промежутке

$$\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right].$$

Решение:

Область определения функции $y = \tan x$:

Функция тангенс определена для всех $x$, кроме точек, где $\cos x = 0$, то есть в точках вида

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Промежуток $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right]$ не содержит таких точек, значит функция на нем определена.

Исследуем производную функции:

Для проверки возрастания функции исследуем знак производной:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.$$

Знак производной на промежутке:

Поскольку $\cos^2 x \geq 0$ и при этом $\cos x \neq 0$ на данном промежутке, то:

$$y’ = \frac{1}{\cos^2 x} > 0 \quad \text{для всех } x \in \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right].$$

Вывод о монотонности:

Поскольку производная положительна на всём промежутке, функция $y = \tan x$ возрастает на $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right]$.

Ответ: функция $y = \tan x$ возрастает на промежутке $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right]$.

2) Дана функция:

$$y = \tan x$$

Задача: Выяснить, является ли функция возрастающей на промежутке

$$\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right).$$

Решение:

Область определения:

Точки разрыва функции $y = \tan x$ — это точки, где $\cos x = 0$, т.е.

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k.$$

Промежуток $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$ не содержит этих точек, кроме границы $\frac{\pi}{2}$, которая не включена в промежуток (открытый промежуток).

Производная функции:

$$y’ = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.$$

Проверка знака производной на промежутке:

На промежутке $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$, $\cos x$ принимает значения от 0 (не включительно) до $-1$, то есть $\cos x \neq 0$ и $\cos^2 x > 0$.

Отсюда:

$$y’ = \frac{1}{\cos^2 x} > 0.$$

Вывод:

Поскольку производная положительна на всём промежутке, функция возрастает на $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$.

Ответ: функция $y = \tan x$ возрастает на промежутке $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$.

3) Дана функция:

$$y = \tan x$$

Задача: Выяснить, является ли функция возрастающей на промежутке

$$\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8} \right).$$

Решение:

Область определения:

Точки разрыва:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k.$$

На промежутке $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8} \right)$ точек, где $\cos x = 0$, нет, так как $-\frac{\pi}{2}$ — граница, не включённая в промежуток.

Производная функции:

$$y’ = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.$$

Проверка знака производной:

На $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8} \right)$, $\cos x \neq 0$, следовательно, $\cos^2 x > 0$.

Значит:

$$y’ > 0.$$

Вывод:

Функция $y = \tan x$ возрастает на данном промежутке.

Ответ: функция $y = \tan x$ возрастает на промежутке $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{8} \right)$.

4) Дана функция:

$$y = \tan x$$

Задача: Выяснить, является ли функция возрастающей на промежутке

$$[2; 3].$$

Решение:

Область определения:

Проверим, нет ли на промежутке $[2; 3]$ точек разрыва.

Точки разрыва:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k \approx 1.5708 + 3.1416 k.$$

Поскольку $2 < 3$, рассмотрим $k=0$:

$$\frac{\pi}{2} \approx 1.5708,$$

не входит в промежуток $[2; 3]$.

Для $k=1$:

$$\frac{\pi}{2} + \pi \approx 1.5708 + 3.1416 = 4.7124,$$

что больше 3.

Таким образом, на промежутке $[2; 3]$ нет точек разрыва, функция определена.

Производная функции:

$$y’ = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.$$

Проверка знака производной:

В промежутке $[2; 3]$ $\cos x \neq 0$, значит

$$y’ > 0.$$

Вывод:

Поскольку производная положительна, функция возрастает на промежутке $[2; 3]$.

Ответ: функция $y = \tan x$ возрастает на промежутке $[2; 3]$.