ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 712 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0;3пи]:

1. cosx=1/2;
2. cosx=корень 2/2;
3. cosx=- корень 2/2;
4. cosx=-1/2.

1) $\cos x = \frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{3};$
$x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3};$
$x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3};$

2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{4};$
$x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4};$
$x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4};$

3) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{3\pi}{4};$
$x_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4};$
$x_3 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4};$

4) $\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = \frac{2\pi}{3};$
$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3};$
$x_3=\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{8\pi }{3}$

Общая формула для корней уравнения $\cos x = a$

Функция косинуса периодична с периодом $2\pi$. Решение уравнения

$$\cos x = a$$

имеет вид:

$$x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

где $\arccos a$ — главный корень (аркус косинус) из диапазона $[0, \pi]$.

Как искать корни на отрезке $[0; 3\pi]$?

Поскольку период косинуса равен $2\pi$, а отрезок достаточно большой — длина $3\pi$ — нам нужно учесть несколько периодов, чтобы найти все корни:

• Первый период: от $0$ до $2\pi$.
• Второй период: от $2\pi$ до $3\pi$ (половина периода).

Для каждого корня в главном периоде $[0; 2\pi]$ добавляем $2\pi n$ для разных $n$, чтобы получить все корни, лежащие на $[0; 3\pi]$.

Задача 1) $\cos x = \frac{1}{2}$

Шаг 1. Найти $\arccos \frac{1}{2}$

Известно из тригонометрии:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 2. Записать общий вид корней:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3. Найти все корни на $[0; 3\pi]$:

Перебираем значения $n$, чтобы $x \in [0; 3\pi]$.

• При $n = 0$:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} \in [0; 3\pi]$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{3} \notin [0; 3\pi] \quad (\text{отрицательное число})$$

• При $n = 1$:

$$x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \in [0; 3\pi]$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \in [0; 3\pi]$$

• При $n=2$:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi \geq 4\pi — \frac{\pi}{3} > 3\pi \quad (\text{вне отрезка})$$

Итог:

Корни на $[0; 3\pi]$:

$$x_1 = \frac{\pi}{3}; \quad x_2 = \frac{5\pi}{3}; \quad x_3 = \frac{7\pi}{3}$$

Задача 2) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Найти $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$

Известно, что

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Общий вид корней:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3. Перебираем $n$ для корней на $[0; 3\pi]$:

• $n=0$:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} \in [0; 3\pi]$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} \notin [0; 3\pi]$$

• $n=1$:

$$x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \in [0; 3\pi]$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \in [0; 3\pi]$$

• $n=2$:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 4\pi > 3\pi \quad (\text{вне отрезка})$$

Итог:

Корни на $[0; 3\pi]$:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}; \quad x_2 = \frac{7\pi}{4}; \quad x_3 = \frac{9\pi}{4}$$

Задача 3) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Найти $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Чтобы выразить через $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$, используем:

$$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \pi \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$$

Так как

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

то

$$x = \pi \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 2. Упрощаем:

$$x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

или

$$x = \pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 3. Записываем общий вид корней с учётом знака $\pm$:

$$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

На самом деле, чтобы точно подобрать корни, нужно понимать, что:

$$x = \pi \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

где $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$ — корни в главном периоде.

Шаг 4. Перебираем $n$, чтобы найти корни на $[0; 3\pi]$:

• $n=0$:

$$x_1 = \frac{3\pi}{4} \in [0; 3\pi]$$ $$x_2 = \frac{5\pi}{4} \in [0; 3\pi]$$

• $n=1$:

$$x_3 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \in [0; 3\pi]$$ $$x_4 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} > 3\pi \quad (\text{вне отрезка})$$

• $n = -1$:

$$x = \frac{3\pi}{4} — 2\pi = \frac{3\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4} \notin [0; 3\pi]$$

Итог:

Корни на $[0; 3\pi]$:

$$x_1 = \frac{3\pi}{4}; \quad x_2 = \frac{5\pi}{4}; \quad x_3 = \frac{11\pi}{4}$$

Задача 4) $\cos x = -\frac{1}{2}$

Шаг 1. Найти $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$

Известно:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Для отрицательного значения:

$$\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pi \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pi \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 2. Упрощаем:

$$x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$$

или

$$x = \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 3. Перебираем $n$ для корней на $[0; 3\pi]$:

• $n=0$:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} \in [0; 3\pi]$$ $$x_2 = \frac{4\pi}{3} \in [0; 3\pi]$$

• $n=1$:

$$x_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \in [0; 3\pi]$$ $$x_4 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} > 3\pi$$

• $n=-1$:

$$x = \frac{2\pi}{3} — 2\pi = \frac{2\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \notin [0; 3\pi]$$

Итог:

Корни на $[0; 3\pi]$:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3}; \quad x_2 = \frac{4\pi}{3}; \quad x_3 = \frac{8\pi}{3}$$