ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 71 Алимов — Подробные Ответы

1. (10^(2+корень 7))/(2^(2+корень 7) * 5^(1+корень 7));
2. (6^(3+корень 5))/ (2(2+ корень 5) + 3^(1+корень 5));
3. (25^(1+корень 2) — 5^2 корень 2) * 5^(-1-2 корень 2);
4. (2^2 корень 3 — 4^ (корень 3-1)) * 2^(-2 корень 3).

1. 
   $\frac{10^{2+\sqrt{7}}}{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{1+\sqrt{7}}} = \frac{(2 \cdot 5)^{2+\sqrt{7}}}{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{1+\sqrt{7}}} = \frac{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{2+\sqrt{7}}}{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{1+\sqrt{7}}} =$ 

   $= 2^{2+\sqrt{7}-(2+\sqrt{7})} \cdot 5^{2+\sqrt{7}-(1+\sqrt{7})} = 2^{0} \cdot 5^{1} = 1 \cdot 5 = 5;$ 

2. 
   $\frac{6^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 3^{1+\sqrt{5}}} = \frac{(2 \cdot 3)^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 3^{1+\sqrt{5}}} = \frac{2^{3+\sqrt{5}} \cdot 3^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 3^{1+\sqrt{5}}} =$ 

   $= 2^{3+\sqrt{5}-(2+\sqrt{5})} \cdot 3^{3+\sqrt{5}-(1+\sqrt{5})} = 2^{1} \cdot 3^{2} = 2 \cdot 9 = 18;$ 

3. 
   $(25^{1+\sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2}}) \cdot 5^{-1-2\sqrt{2}} = \left((5^2)^{1+\sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2}}\right) \cdot 5^{-1-2\sqrt{2}} =$ 

   $= (5^{2+2\sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2}}) \cdot 5^{-1-2\sqrt{2}} = 5^{2+2\sqrt{2} + (-1-2\sqrt{2})} — 5^{2\sqrt{2} + (-1-2\sqrt{2})} =$ 

   $= 5^{1} — 5^{-1} = 5 — \frac{1}{5} = \frac{25}{5} — \frac{1}{5} = \frac{24}{5} = 4.8;$ 

4. 
   $\left(2^{2\sqrt{3}} — 4^{\sqrt{3}-1}\right) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = \left(2^{2\sqrt{3}} — (2^2)^{\sqrt{3}-1}\right) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} =$ 

   $= \left(2^{2\sqrt{3}} — 2^{2\sqrt{3}-2}\right) \cdot 2^{-2\sqrt{3}} = 2^{2\sqrt{3} + (-2\sqrt{3})} — 2^{2\sqrt{3}-2 + (-2\sqrt{3})} =$ 

   $= 2^{0} — 2^{-2} = 1 — \frac{1}{2^2} = 1 — \frac{1}{4} = \frac{4}{4} — \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75;$ 

Задача 1:

$$\frac{10^{2+\sqrt{7}}}{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{1+\sqrt{7}}}$$

Шаг 1: Разложение основания 10

Поскольку

$10 = 2 \cdot 5$

, можно записать:

$$10^{2+\sqrt{7}} = (2 \cdot 5)^{2+\sqrt{7}}$$

Используем свойство степеней

$(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$

:

$$(2 \cdot 5)^{2+\sqrt{7}} = 2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{2+\sqrt{7}}$$

Тогда дробь принимает вид:

$$\frac{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{2+\sqrt{7}}}{2^{2+\sqrt{7}} \cdot 5^{1+\sqrt{7}}}$$

Шаг 2: Упрощение дроби

Разделим степени одинаковых оснований:

$$\frac{2^{2+\sqrt{7}}}{2^{2+\sqrt{7}}} \cdot \frac{5^{2+\sqrt{7}}}{5^{1+\sqrt{7}}}$$

По свойству степеней

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

:

$$2^{(2+\sqrt{7}) — (2+\sqrt{7})} \cdot 5^{(2+\sqrt{7}) — (1+\sqrt{7})}$$

Вычисляем показатели:

$$2^{0} \cdot 5^{1}$$

$$1 \cdot 5 = 5$$

Ответ:

$$\mathbf{5}$$

Задача 2:

$$\frac{6^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 3^{1+\sqrt{5}}}$$

Шаг 1: Разложение основания 6

Поскольку

$6 = 2 \cdot 3$

, представим степень:

$$6^{3+\sqrt{5}} = (2 \cdot 3)^{3+\sqrt{5}}$$

Используем свойство

$(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$

:

$$(2 \cdot 3)^{3+\sqrt{5}} = 2^{3+\sqrt{5}} \cdot 3^{3+\sqrt{5}}$$

Подставляем в исходную дробь:

$$\frac{2^{3+\sqrt{5}} \cdot 3^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}} \cdot 3^{1+\sqrt{5}}}$$

Шаг 2: Упрощение дроби

Разделим степени одинаковых оснований:

$$\frac{2^{3+\sqrt{5}}}{2^{2+\sqrt{5}}} \cdot \frac{3^{3+\sqrt{5}}}{3^{1+\sqrt{5}}}$$

Применяем

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

:

$$2^{(3+\sqrt{5}) — (2+\sqrt{5})} \cdot 3^{(3+\sqrt{5}) — (1+\sqrt{5})}$$

Вычисляем показатели:

$$2^{1} \cdot 3^{2}$$

$$2 \cdot 9 = 18$$

Ответ:

$$\mathbf{18}$$

Задача 3:

$$(25^{1+\sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2}}) \cdot 5^{-1-2\sqrt{2}}$$

Шаг 1: Разложение основания 25

Поскольку

$25 = 5^2$

, выразим:

$$25^{1+\sqrt{2}} = (5^2)^{1+\sqrt{2}}$$

Используем свойство степеней

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

:

$$(5^2)^{1+\sqrt{2}} = 5^{2(1+\sqrt{2})} = 5^{2+2\sqrt{2}}$$

Заменяем в выражении:

$$(5^{2+2\sqrt{2}} — 5^{2\sqrt{2}}) \cdot 5^{-1-2\sqrt{2}}$$

Шаг 2: Вынесение степени

Применяем распределительное свойство:

$$5^{(2+2\sqrt{2}) + (-1-2\sqrt{2})} — 5^{2\sqrt{2} + (-1-2\sqrt{2})}$$

Упрощаем показатели:

$$5^{1} — 5^{-1}$$

Записываем дробью:

$$5 — \frac{1}{5}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{25}{5} — \frac{1}{5} = \frac{24}{5}$$

$$= 4.8$$

Ответ:

$$\mathbf{4.8}$$

Задача 4:

$$\left(2^{2\sqrt{3}} — 4^{\sqrt{3}-1}\right) \cdot 2^{-2\sqrt{3}}$$

Шаг 1: Разложение основания 4

Поскольку

$4 = 2^2$

, выразим:

$$4^{\sqrt{3}-1} = (2^2)^{\sqrt{3}-1}$$

Используем

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

:

$$(2^2)^{\sqrt{3}-1} = 2^{2(\sqrt{3}-1)}$$

Раскрываем скобки:

$$2^{2\sqrt{3}-2}$$

Подставляем в выражение:

$$\left(2^{2\sqrt{3}} — 2^{2\sqrt{3}-2}\right) \cdot 2^{-2\sqrt{3}}$$

Шаг 2: Раскрытие скобок

$$2^{(2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{3})} — 2^{(2\sqrt{3}-2) + (-2\sqrt{3})}$$

Упрощаем показатели:

$$2^{0} — 2^{-2}$$

$$1 — \frac{1}{2^2}$$

$$1 — \frac{1}{4}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{4}{4} — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

$$= 0.75$$

Ответ:

$$\mathbf{0.75}$$