ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 70 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^(1-2 корень 2)*4^ корень 2;
2. 3^(2-3 корень 3) * 27^ корень 3;
3. 9^(1+ корень 3) * 3^(1- корень 3) * 3^(-2-корень 3);
4. 4^(3+ корень 2) * 2^(1-корень 2) * 2^(-4-корень 2).

${\mathrm{1.\; 2}}^{1-2\sqrt{2}}\cdot 4^{\sqrt{2}}=2^{1-2\sqrt{2}}\cdot (2^2{)}^{\sqrt{2}}=2^{1-2\sqrt{2}}\cdot 2^{2\sqrt{2}}=2^{1-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}}=2^1=2;$

${\mathrm{2.\; 3}}^{2-3\sqrt{3}}\cdot {27}^{\sqrt{3}}=3^{2-3\sqrt{3}}\cdot (3^3{)}^{\sqrt{3}}=3^{2-3\sqrt{3}}\cdot 3^{3\sqrt{3}}=3^{2-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}}=3^2=9;$

${\mathrm{3.\; 9}}^{1+\sqrt{3}}\cdot 3^{1-\sqrt{3}}\cdot 3^{-2-\sqrt{3}}=(3^2{)}^{1+\sqrt{3}}\cdot 3^{1-\sqrt{3}}\cdot 3^{-2-\sqrt{3}}=3^{2+2\sqrt{3}}\cdot 3^{1-\sqrt{3}}\cdot 3^{-2-\sqrt{3}}=$

$=3^{2+2\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})+(-2-\sqrt{3})}=3^1=3;$

${\mathrm{4.\; 4}}^{3+\sqrt{2}}\cdot 2^{1-\sqrt{2}}\cdot 2^{-4-\sqrt{2}}=(2^2{)}^{3+\sqrt{2}}\cdot 2^{1-\sqrt{2}}\cdot 2^{-4-\sqrt{2}}=2^{6+2\sqrt{2}}\cdot 2^{1-\sqrt{2}}\cdot 2^{-4-\sqrt{2}}=$

$=2^{6+2\sqrt{2}+(1-\sqrt{2})+(-4-\sqrt{2})}=2^3=8$

1) Пример 1:

$$2^{1-\sqrt{2}}\cdot 4^{\sqrt{2}}=2^{1-\sqrt{2}}\cdot (2^2{)}^{\sqrt{2}}=2^{1-\sqrt{2}}\cdot 2^{2\sqrt{2}}=2^{1-\sqrt{2}+2\sqrt{2}}=$$

$$=2^{1+\sqrt{2}}=2^1\cdot 2^{\sqrt{2}}=2\cdot 2^{\sqrt{2}}$$

Объяснение шагов:

• Вначале мы представляем 4 как $2^2$, потому что основание 4 можно выразить через степень двойки.
• Затем складываем степени с одинаковым основанием $2$, так как свойства степеней позволяют сложить экспоненты при умножении чисел с одинаковыми основаниями.
• Получается выражение $2^{1+\sqrt{2}}$, и это уже финальный результат, но можно оставить в виде произведения $2\cdot 2^{\sqrt{2}}$.

2) Пример 2:

$$3^{2-3\sqrt{3}}\cdot {27}^{\sqrt{3}}=3^{2-3\sqrt{3}}\cdot (3^3{)}^{\sqrt{3}}=3^{2-3\sqrt{3}}\cdot 3^{3\sqrt{3}}=3^{2-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}}=3^2=9$$

Объяснение шагов:

• $27$ можно представить как $3^3$, так как $27=3^3$.
• При возведении степени в степень, степень множится на показатель степени, то есть $(3^3{)}^{\sqrt{3}}=3^{3\sqrt{3}}$.
• Затем снова складываем степени с одинаковым основанием (основание 3).
• В результате $3^2=9$, что и является финальным ответом.

3) Пример 3:

$$9^{1+\sqrt{3}}\cdot {31}^{-\sqrt{3}}\cdot 3^{-2\sqrt{3}}=(3^2{)}^{1+\sqrt{3}}\cdot {31}^{-\sqrt{3}}\cdot 3^{-2\sqrt{3}}=3^{2(1+\sqrt{3})}\cdot {31}^{-\sqrt{3}}\cdot 3^{-2\sqrt{3}}$$$$=3^{2+2\sqrt{3}}\cdot {31}^{-\sqrt{3}}\cdot 3^{-2\sqrt{3}}=3^{2+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}}\cdot {31}^{-\sqrt{3}}=3^2\cdot {31}^{-\sqrt{3}}=3^2=9$$

Объяснение шагов:

• $9$ представляем как $3^2$, так как $9=3^2$.
• Раскрываем скобки, умножив степени на 2.
• Дальше сжимаем степени с одинаковым основанием и получаем $3^2$, что равно 9.

4) Пример 4:

$$4^{3+\sqrt{2}}\cdot 2^{2-\sqrt{2}}=(2^2{)}^{3+\sqrt{2}}\cdot 2^{2-\sqrt{2}}=2^{2(3+\sqrt{2})}\cdot 2^{2-\sqrt{2}}$$$$=2^{6+2\sqrt{2}}\cdot 2^{2-\sqrt{2}}=2^{6+2\sqrt{2}+2-\sqrt{2}}=2^{8+\sqrt{2}}=2^8\cdot 2^{\sqrt{2}}$$$$=256\cdot 2^{\sqrt{2}}$$

Объяснение шагов:

• $4$ представляем как $2^2$, то есть $4=2^2$.
• Операция возведения в степень распространяется на множитель, поэтому раскрываем скобки.
• После этого суммируем степени с одинаковым основанием 2.
• Получаем итоговое выражение $2^{8+\sqrt{2}}$, которое можно представить как $256\cdot 2^{\sqrt{2}}$.

Таким образом, для каждого пункта мы использовали свойства степеней для упрощения выражений и приведения их к наиболее удобному виду.