ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 69 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^(2-3 корень 5) * 8^ корень 5;
2. 3^(1+2 корень 3 степени 2) : 9^корень 3 степени 2;
3. (5^(1+ корень 2)(1- корень 2);
4. (5^(1- корень 5)(1+ корень 5) — (корень 5)0.

1. 
   $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 3^{\sqrt{5}} = 2^{2-3\sqrt{5}} \cdot (2^{3})^{\sqrt{5}} = 2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}} = 2^{2-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}} = 2^{2} = 4;$ 
2. 
   $3^{1+2\frac{3}{2}} : 9^{\frac{3}{2}} = 3^{1+2\frac{3}{2}} : (3^{2})^{\frac{3}{2}} = 3^{1+2\frac{3}{2}} : 3^{2\frac{3}{2}} = 3^{1+2\frac{3}{2}-2\frac{3}{2}} = 3^{1} = 3;$ 
3. 
   $(5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}} = 5^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = 5^{1-(\sqrt{2})^{2}} = 5^{1-2} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2;$ 
4. 
   $(5^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} (\sqrt{5})^{0} = 5^{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})} — 1 = 5^{1^{2}-(\sqrt{5})^{2}} — 1 = 5^{1-5} — 1 = 5^{-4} — 1 = \frac{1}{5^{4}} — 1 = \frac{1}{625} — 1 = \frac{1}{625} — \frac{625}{625} = -\frac{624}{625};$ 

1) Упрощение выражения

$2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 3^{\sqrt{5}}$

:

Мы видим, что в выражении присутствует множитель

$3^{\sqrt{5}}$

, который можно представить через основание 2.
Но сначала преобразуем

$3^{\sqrt{5}}$

с помощью основного свойства степеней:

$$(3^x = (2^{\log_2 3})^x = 2^{x \log_2 3})$$

Но, в данном выражении проще воспользоваться другим способом.

Запишем

$3^{\sqrt{5}}$

в виде

$(2^3)^{\sqrt{5}}$

, так как

$3 = 2^3$

:

$$3^{\sqrt{5}} = (2^3)^{\sqrt{5}} = 2^{3\sqrt{5}}$$

Теперь подставим это в выражение:

$$2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}}$$

Применяем свойство степеней

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

:

$$2^{(2 — 3\sqrt{5}) + 3\sqrt{5}}$$

$$= 2^{2 — 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}$$

$$= 2^2 = 4$$

2) Упрощение выражения

$3^{1+2\frac{3}{2}} : 9^{\frac{3}{2}}$

:

Сначала преобразуем основание 9:

$$9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}}$$

По свойству степеней

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

:

$$9^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^{3}$$

Теперь упрощаем деление:

$$3^{1+2\frac{3}{2}} : 3^3$$

Воспользуемся свойством деления степеней:

$$a^m : a^n = a^{m-n}$$

Рассчитаем показатель степени:

$$1 + 2\frac{3}{2} = 1 + 3 = 4$$

Тогда:

$$3^4 : 3^3 = 3^{4-3} = 3^1 = 3$$

3) Упрощение выражения

$(5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$

:

Используем свойство степеней

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

:

$$(5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}} = 5^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 — (\sqrt{2})^2 = 1 — 2 = -1$$

Тогда:

$$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$$

4) Упрощение выражения

$(5^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} (\sqrt{5})^{0}$

:

Первый множитель:

$$(5^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}}$$

Используем свойство степеней:

$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$

$$(5^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} = 5^{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}$$

Рассчитаем показатель:

$$(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}) = 1^2 — (\sqrt{5})^2 = 1 — 5 = -4$$

Таким образом:

$$5^{-4}$$

Теперь второй множитель:

$$(\sqrt{5})^0$$

Любое число в нулевой степени равно 1:

$$(\sqrt{5})^0 = 1$$

Теперь:

$$5^{-4} \cdot 1 = 5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$$

В конце вычитаем 1:

$$\frac{1}{625} — 1 = \frac{1}{625} — \frac{625}{625} = -\frac{624}{625}$$

Ответ:

1. 
   $4$ 
2. 
   $3$ 
3. 
   $0,2$ 
4. 
   $-\frac{624}{625}$