ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 66 Алимов — Подробные Ответы

1. (корень a — корень b)/ (a1/4 — 1/4);
2. (m1/2 + n1/2)/ (b+2 (корень mn) + n);
3. (c-2(c1/2) + 1)/ ((корень c) — 1).

1).$$\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}} = \frac{a^{\frac{2}{4}} — b^{\frac{2}{4}}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}} = \frac{\left(a^{\frac{1}{4}}\right)^2 — \left(b^{\frac{1}{4}}\right)^2}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}} = \frac{\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}} = a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}};$$

2).$$\frac{\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{m + 2\sqrt{mn} + n} = \frac{\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{\left(m^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + \left(n^{\frac{1}{2}}\right)^2} = \frac{\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)^2} = \frac{1}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = \left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)^{-1};$$

3).$$\frac{c — 2c^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{c} — 1} = \frac{\left(c^{\frac{1}{2}}\right)^2 — 2c^{\frac{1}{2}} + 1^2}{c^{\frac{1}{2}} — 1} = \frac{\left(c^{\frac{1}{2}} — 1\right)^2}{c^{\frac{1}{2}} — 1} = c^{\frac{1}{2}} — 1;$$

Задача 1

Упростим выражение:

$$\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{4}}}}$$

Шаг 1. Представим числитель в степени:

$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}.$$

Тогда числитель запишется как:

$$a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель, приведя к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{4}}} = \frac{b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}}.$$

Шаг 3. Запишем дробь, подставив преобразования:

$$\frac{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}{\frac{b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}}}.$$

Деление дроби заменяем умножением на обратную:

$$(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}}.$$

Шаг 4. Используем формулу разности квадратов:

$$a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}).$$

Тогда выражение принимает вид:

$$\frac{(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}} \cdot a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}.$$

Так как $b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}} = -(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}})$, сокращаем:

$$-(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}).$$

Ответ:

$$a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}.$$

Задача 2

Упростим выражение:

$$\frac{\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}{m + 2\sqrt{mn} + n}.$$

Шаг 1. Преобразуем числитель:

$$\frac{1}{m^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} = \frac{n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}}.$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель:

$$m + 2\sqrt{mn} + n = (m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2.$$

Шаг 3. Подставляем преобразованные части:

$$\frac{\frac{n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}}}{(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2}.$$

Шаг 4. Умножаем на обратную дробь:

$$\frac{n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2}.$$

Сокращаем $n^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{1}{2}}$:

$$\frac{1}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}.$$

Ответ:

$$(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^{-1}.$$

Задача 3

Упростим выражение:

$$\frac{c — 2c^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{c} — 1}.$$

Шаг 1. Разложим числитель:

$$c — 2c^{\frac{1}{2}} + 1 = (c^{\frac{1}{2}})^2 — 2c^{\frac{1}{2}} + 1^2.$$

Это формула квадрата разности:

$$(c^{\frac{1}{2}} — 1)^2.$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$\sqrt{c} — 1 = c^{\frac{1}{2}} — 1.$$

Шаг 3. Записываем дробь:

$$\frac{(c^{\frac{1}{2}} — 1)^2}{c^{\frac{1}{2}} — 1}.$$

Сокращаем $c^{\frac{1}{2}} — 1$:

$$c^{\frac{1}{2}} — 1.$$

Ответ:

$$c^{\frac{1}{2}} — 1.$$