ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 65 Алимов — Подробные Ответы

1. a-x;
2. x3/2 — y3/2;
3. a1/2-b1/2;
4. 27a+c1/2.

Разложить на множители, используя тождества:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ или $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$;

$\mathrm{1.\; a}-x=a^1-x^1=a^{\frac{3}{3}}-x^{\frac{3}{3}}={\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^3-{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^3=$

$=(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}})({\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^2+a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{1}{3}}+{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^2)=(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}})$

${\mathrm{2.\; x}}^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}={\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^3-{\left(y^{\frac{1}{2}}\right)}^3=(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})({\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^2+x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}+{\left(y^{\frac{1}{2}}\right)}^2)=$

$=(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x+x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}+y)$

${\mathrm{3.\; a}}^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{6}}-b^{\frac{3}{6}}={\left(a^{\frac{1}{6}}\right)}^3-{\left(b^{\frac{1}{6}}\right)}^3=(a^{\frac{1}{6}}-b^{\frac{1}{6}})({\left(a^{\frac{1}{6}}\right)}^2+a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{1}{6}}+{\left(b^{\frac{1}{6}}\right)}^2)=$

$=(a^{\frac{1}{6}}-b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{3}})$

4. $a+c^2=3^3{a}^{\frac{3}{3}}+c^{\frac{3}{3}}={\left(3a^{\frac{1}{3}}\right)}^3+{\left(c^{\frac{1}{3}}\right)}^3=(3a^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{1}{3}})({\left(3a^{\frac{1}{3}}\right)}^2-3a^{\frac{1}{3}}{c}^{\frac{1}{3}}+{\left(c^{\frac{1}{3}}\right)}^2)=$

$=(3a^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{1}{3}})(9a^{\frac{2}{3}}-3a^{\frac{1}{3}}{c}^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{2}{3}})$

Разложить на множители, используя тождества:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ или $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$$;

1) $a-x$

Исходное выражение:

$$a-x=a^1-x^1$$

Замечаем, что это выражение можно записать как разность кубов:

$$a^1-x^1=a^{\frac{3}{3}}-x^{\frac{3}{3}}$$

Теперь применим формулу разности кубов:

$$a^3-x^3=(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}})({\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^2+a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{1}{3}}+{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^2)$$

Подставляем значения в формулу:

$$a^3-x^3=(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}})$$

Таким образом, разложение на множители для $a-x$:

$$a-x=(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}})$$

2)  $x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}$

Исходное выражение:

$$x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}={\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^3-{\left(y^{\frac{1}{2}}\right)}^3$$

Применяем формулу разности кубов:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^3-{\left(y^{\frac{1}{2}}\right)}^3=(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})({\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^2+x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}+{\left(y^{\frac{1}{2}}\right)}^2)$$

Вычисляем квадраты выражений внутри скобок:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^2=x,{\left(y^{\frac{1}{2}}\right)}^2=y$$

Подставляем это в разложение:

$$x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}=(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x+x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}+y)$$

Итак, разложение на множители для $x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}$:

$$x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}=(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x+x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}+y)$$

3) $a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}$

Исходное выражение:

$$a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{6}}-b^{\frac{3}{6}}$$

Здесь тоже можно применить формулу разности кубов, переписав исходное выражение как разность кубов:

$$a^{\frac{3}{6}}-b^{\frac{3}{6}}={\left(a^{\frac{1}{6}}\right)}^3-{\left(b^{\frac{1}{6}}\right)}^3$$

Теперь, применяя формулу разности кубов:

$${\left(a^{\frac{1}{6}}\right)}^3-{\left(b^{\frac{1}{6}}\right)}^3=(a^{\frac{1}{6}}-b^{\frac{1}{6}})({\left(a^{\frac{1}{6}}\right)}^2+a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{1}{6}}+{\left(b^{\frac{1}{6}}\right)}^2)$$

Вычисляем квадраты внутри скобок:

$${\left(a^{\frac{1}{6}}\right)}^2=a^{\frac{1}{3}},{\left(b^{\frac{1}{6}}\right)}^2=b^{\frac{1}{3}}$$

Подставляем это в разложение:

$$a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{1}{6}}-b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{3}})$$

Итак, разложение на множители для $a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}$:

$$a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{1}{6}}-b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{3}})$$

4) $27a+c^2$

Исходное выражение:

$$27a+c^2=3^3{a}^{\frac{3}{3}}+c^{\frac{3}{3}}$$

Переписываем это как сумму кубов:

$$27a+c^2={\left(3a^{\frac{1}{3}}\right)}^3+{\left(c^{\frac{1}{3}}\right)}^3$$

Применяем формулу суммы кубов:

$${\left(3a^{\frac{1}{3}}\right)}^3+{\left(c^{\frac{1}{3}}\right)}^3=(3a^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{1}{3}})({\left(3a^{\frac{1}{3}}\right)}^2-3a^{\frac{1}{3}}{c}^{\frac{1}{3}}+{\left(c^{\frac{1}{3}}\right)}^2)$$

Вычисляем квадраты внутри скобок:

$${\left(3a^{\frac{1}{3}}\right)}^2=9a^{\frac{2}{3}},3a^{\frac{1}{3}}{c}^{\frac{1}{3}}=3a^{\frac{1}{3}}{c}^{\frac{1}{3}},{\left(c^{\frac{1}{3}}\right)}^2=c^{\frac{2}{3}}$$

Подставляем это в разложение:

$$27a+c^2=(3a^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{1}{3}})(9a^{\frac{2}{3}}-3a^{\frac{1}{3}}{c}^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{2}{3}})$$

Итак, разложение на множители для $27a+c^2$:

$$27a+c^2=(3a^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{1}{3}})(9a^{\frac{2}{3}}-3a^{\frac{1}{3}}{c}^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{2}{3}})$$